Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：EF=CF．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出∠BAE=∠CAE，再證明△ABE≌△ACE就可以得出結(jié)論；
（2）由BF⊥AC，∠BAC=45°就可以求出AF=BF，在由條件證明△AEF≌△BCF就可以得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠EAB=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
∵

AB=AC ∠EAB=∠EAC AE=AE

，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵BF⊥AF，
∴∠AFB=∠CFB=90°．
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=45°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴AF=BF．
∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，

∠EAF=∠CBF AF=BF ∠AFE=∠BFC=90°

，
∴△AEF≌△BCF（ASA）
∴EF=CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中點(diǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．