Question

已知如圖，AB是⊙O直徑，∠C的兩邊分別與⊙O相切于A、D兩點(diǎn)．DE⊥AB，垂足為E，AE=3，BE=1，則圖中陰影部分面積（　　）

• A、4

  3

  -4π
• B、

  9

  2

  3

  -

  4

  3

  π
• C、

  9

  2

  3

  -4π
• D、4

  3

  -

  4

  3

  π

Answer 1

分析：連OD，過D作DF⊥AC于F，由AE=3，BE=1，得到半徑OA=OD=2，則OE=3-2=1；在Rt△ODE中，得到∠ODE=30°，則∠DOE=60°，DE=

3

OE=

3

，所以∠DOA=120°．再根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CAE=∠CDO=90°，則∠C=180°-∠DOA=60°，在Rt△CDF中，∠CDF=90°-60°=30°，可求出CF，最后根據(jù)扇形的面積公式，利用S_陰影部分=S_梯形AEDC-S_△ODE-S_扇形ODA進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：連OD，過D作DF⊥AC于F，如圖，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=4，
∴OA=OD=2，OE=3-2=1，
在Rt△ODE中，OD=2OE，
∴∠ODE=30°，
∴∠DOE=60°，DE=

3

OE=

3

，
∴∠DOA=120°，
又∵CD，CA為⊙O的切線，
∴∠CAE=∠CDO=90°，
∴∠C=180°-∠DOA=60°，
而DF=EA=3，
在Rt△CDF中，∠CDF=90°-60°=30°，
∴CF=

DF

3

=

3

，
∴S_陰影部分=S_梯形AEDC-S_△ODE-S_扇形ODA=

1

2

（

3

+2

3

）•3-

1

2

•

3

•1-

120•π•22

360

=4

3

-

4

3

π．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積公式：S=

n•π•R2

360

；也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系、切線的性質(zhì)以及梯形的面積公式．