Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，AB是⊙O的一條弦，AP是⊙O的切線(xiàn)．作BM＝AB并與AP交于點(diǎn) M，延長(zhǎng)MB交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD、BC．

（1）求證：AB＝BE；

（2）若BE＝3，OC＝，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4

【解析】

（1）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得出∠EAM＝90°，等腰三角形的性質(zhì)∠MAB＝∠AMB，根據(jù)等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，即可證得AB＝BE；
（2）根據(jù)題意得出∠ABC=90°，求出AC，AB的值，再利用勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）證明：∵AP是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°．
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE；
（2）∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝2OC＝5，AB＝BE＝3，
∴BC＝．