Question

如圖，等邊三角形ABC，點E是AB上一點，點D在CB的延長線上，且ED=EC，EF∥AC交BC于點F．
（1）試說明四邊形AEFC是等腰梯形；
（2）請判斷AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由．

Answer 1

（1）證明：∵EF∥AC，
∴四邊形AEFC是梯形，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴梯形AEFC是等腰梯形；

（2）解：AE=BD．
理由是：證法一、
∵EF∥AC，△ABC是等邊三角形，
∴∠ACF=∠A=60°
∴∠EFC=180°-60°=120°
∵∠EBF=180°-60°=120°
∴∠EFC=∠EBF=120°
∵ED=EC
∴∠ECD=∠EDB
在△EFC和△EBD中

∴△EFC≌△EBD（AAS）
∴CF=DB
∵AE=CF
∴AE=DB

證法二、∵四邊形AEFC是等腰梯形，
∴AE=CF，
∵EF∥AC，
∴∠EFB=∠ACB，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EFD，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵在△EFD和△EBC中
，
∴△EFD≌△EBC，
∴DF=BC，
∵BF=BF，
∴BD=CF，
∵AE=CF，
∴AE=BD．
分析：（1）根據(jù)平行得出梯形AEFC，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠A=∠ACB，根據(jù)等腰梯形的判定推出即可；
（2）求出AE=CF，推出∠EFB=∠ACB=∠ABC，推出∠D=∠ECD，根據(jù)AAS證出△EFD≌△EBC，得出DF=BC，推出BD=CF即可．
點評：本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．，