Question

已知：如圖，拋物線的頂點坐標是（4，1），與軸的交點為A（0，5）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若B（，0），C是（1）中拋物線上的點，CD⊥OB，垂足為D，△AOB∽△BDC．

①求點C的坐標；

②試判定以AC為直徑的圓M與軸有怎樣的位置關系，

并說明理由．

Answer 1

    解：(1)設拋物線的解析式為 y=a(x-4)²+1

           ∵拋物線經過A(0,5)  ∴5=a(0-4)²+1  ∴a=

           ∴拋物線的解析式為y=(x-4)²+1即y=x²-2x+5

（注：直接寫出解析式y(tǒng)=(x-4)²+1不扣分）

        (2)①∵C在拋物線上 ∴設C(m,m²-2m+5)

             即CD=m²-2m+5  OD=m

             ∴BD=OD-OB=m-        

             ∵△AOB∽△BDC

             ∴= 即=    

             解得m=5  ∴C(5, )      

           ②法一：∵∠CBD=∠BAO  ∠BAO+∠ABO=90°

                   ∴∠CBD+∠ABO=90° ∴∠ABC=90°

                   即△ABC是Rt△   

連結MB ∵M是AC的中點 ∴MB=AC

∵OB=BD= ∴MB∥OA ∴MB⊥x軸

即圓M與x軸相切.     

                 法二：∵M是AC的中點 ∴M(,)

                           ∴M到x軸距離d是.    

                           過C作CE⊥y軸于E，則CE=OD=5

                           AE=OA-OE=OA-CD=

                           ∴AC===

                       ∴d=AC 即圓M與x軸相切