Question

（2013•內(nèi)江）如圖，在等邊△ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L．
（1）求△ABC的面積；
（2）設AD=x，圖形L的面積為y，求y關于x的函數(shù)解析式；
（3）已知圖形L的頂點均在⊙O上，當圖形L的面積最大時，求⊙O的面積．

Answer 1

分析：（1）作AH⊥BC于H，根據(jù)勾股定理就可以求出AH，由三角形的面積公式就可以求出其值；
（2）如圖1，當0＜x≤1.5時，由三角形的面積公式就可以表示出y與x之間的函數(shù)關系式，如圖2，當1.5＜x＜3時，重疊部分的面積為梯形DMNE的面積，由梯形的面積公式就可以求出其關系式；
（3）如圖4，根據(jù)（2）的結論可以求出y的最大值從而求出x的值，作FO⊥DE于O，連接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直徑，由圓的面積公式就可以求出其值．

解答：解：（1）如圖3，作AH⊥BC于H，
∴∠AHB=90°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=3．
∵∠AHB=90°，
∴BH=

1

2

BC=

3

2

在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AH=

3

2

3

．
∴S_△ABC=

3× 3 2 3

2

=

9

4

3

；

（2）如圖1，當0＜x≤1.5時，y=S_△ADE．
作AG⊥DE于G，
∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，
∴DG=

1

2

x，AG=

3

2

x，
∴y=

x× 3 2 x

2

=

3

4

x²，
∵a=

3

4

＞0，開口向上，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，
∴x=1.5時，y_最大=

9 3

16

，
如圖2，當1.5＜x＜3時，作MG⊥DE于G，
∵AD=x，
∴BD=DM=3-x，
∴DG=

1

2

（3-x），MF=MN=2x-3，
∴MG=

3

2

（3-x），
∴y=

(2x-3+x) 3 2 (3-x)

2

，
=-

3

4

3

x2+3

3

x-

9

4

3

；

（3）如圖4，∵y=-

3

4

3

x2+3

3

x-

9

4

3

；
∴y=-

3

4

3

（x²-4x）-

9

4

3

，
y=-

3

4

3

（x-2）²+

3

4

3

，
∵a=-

3

4

3

＜0，開口向下，
∴x=2時，y_最大=

3

4

3

，
∵

3

4

3

＞

9 3

16

，
∴y最大時，x=2，
∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，連接MO，ME．
∴DO=OE=1，
∴DM=DO．
∵∠MDO=60°，
∴△MDO是等邊三角形，
∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．
∴MO=OE，∠MOE=120°，
∴∠OME=30°，
∴∠DME=90°，
∴DE是直徑，
S_⊙O=π×1²=π．

點評：本題考查了等邊三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用，勾股定理的運用，圓周角定理的運用，圓的面積公式的運用，等邊三角形的性質的運用，二次函數(shù)的性質的運用，解答時靈活運用等邊三角形的性質是關鍵．