Question

定義：若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形，則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.

探究：（1）如圖甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請?jiān)趫D甲中畫出分割線，并說明理由.

（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結(jié)三角形各邊中點(diǎn)，則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形．我們把△DEF(圖乙)第一次順次連結(jié)各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖1）；把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖2）……依次規(guī)則操作下去．n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時(shí)小三角形的面積為S_n．

①若△DEF的面積為1000，當(dāng)n為何值時(shí)，3<S_n<4?

（請用計(jì)算器進(jìn)行探索，要求至少寫出二次的嘗試估算過程）

②當(dāng)n>1時(shí)，請寫出一個(gè)反映S_n-1,S_n,S_n+1之間關(guān)系的等式（不必證明）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）正確畫出分割線CD

（如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線，若畫成直線不扣分）        

理由：∵ ∠B = ∠B，∠CDB=∠ACB=90°

∴△BCD ∽△ACB                 

（2）① △DEF 經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為 

 ∴ 

當(dāng) n =3時(shí),S₃ =  ≈15.62                      

當(dāng) n = 4時(shí)， S₄ =   ≈3.91        

∴當(dāng) n= 4時(shí),3 ＜S₄ ＜ 4

②       

【解析】（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，CD即是滿足要求的分割線

（2）根據(jù)題目找出△DEF 經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為規(guī)律即可

（3）根據(jù)（2）中，利用冪的運(yùn)算計(jì)算易得出