Question

如圖10-1，在△A B B′和△A C C′中，∠B A B′=∠C A C′=m°，AC=AC'，AB=AB'．
（1）不添加輔助線的前提下，請寫出圖中滿足旋轉(zhuǎn)變換的兩個三角形分別是：           ；旋轉(zhuǎn)角度是            °；
（2）線段BC、B'C'的數(shù)量關(guān)系是：         ；試求出BC、B'C'所在直線的夾角：         ；

（3）隨著△ACC'繞點A的旋轉(zhuǎn)，（2）的結(jié)論是否依然成立？請從圖10-2、圖10-3中任選一個證明你的結(jié)論；
（4）利用解決上述問題所獲得的經(jīng)驗探索下面的問題：如圖10-4，等邊△ABC外一點D，且∠BDC=60°,連接AD，試探索線段AD、CD、BD的數(shù)量關(guān)系．
 

Answer 1

（1）△A B C和△A B′ C′；旋轉(zhuǎn)角度是m°
（2）線段BC=B'C',  BC、B'C'所在直線的夾角：m°或（180- m ）°
（3）成立，證明略。
（4）BD=" MD" + BM =AD+DC，證明略。

解析
（1）
△A B C和△A B′ C′；旋轉(zhuǎn)角度是m°；                     ……………………2分
（2）
線段BC=B'C',  BC、B'C'所在直線的夾角：m°或（180- m ）°；………………3分

 
（3）成立
圖10-2、在△A B C和△A B′ C′中，
∠B A B′=∠C A C′=m°，AC=AC'，AB=AB'
∠B A C =∠B A B′+∠C′A B，
∠B′ A C′=∠C A C′+∠C′A B
即∠B A C=∠B′ A C′                  ……………………4分
 A B′ C′                 ……………………5分
∴BC=B'C'                            ……………………6分
延長B'C'交BCG于點M，設(shè)AB與B′ C′交于點O
∵∠CBA =∠ C'B′A， ∠MOB =∠AOB′  ……………………7分
∴∠BM C′=∠BA B′="m°                 " ……………………8分
（4）方法一：
BD=AD+DC
如圖10-4，在BD上截取BM=CD，連結(jié)AM ……………………9分
∵等邊△ABC，
∴∠BAC=∠BDC=60°
又∠BOA=∠DOC，
∴∠ ABM=∠ACD
∵AB=AC
∴                     ……………………11分
∴BM=DC，AM=AD，∠BAM=∠CAD
∴∠BAC=∠MAD=60°
∴△AMD為等邊三角形
∴MD=AD
∴BD=" MD" + BM ="AD+DC               " ……………………12分
方法二：如圖10-5，在BD上截取DM=DC，先證明△CMD為等邊三角形，再證明△ADC≌△BMC；
方法三：如圖10-6，延長DC至M，使得DM=DB，先證明△BMD為等邊三角形，再證明△BDC≌△BMC；
仿照方法一給分.