Question

如圖，直角梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（，0）、（2，0）和（2，3），AB∥CD，∠C=90°，CD=CB．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c過原點(diǎn)O與點(diǎn)（7，1），且對(duì)稱軸為過點(diǎn)（4，3）與y軸平行的直線，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC+PD最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，C（2，3），
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是3，
∵CD=CB，B（2，0），
∴點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為3-2=1，
又∵點(diǎn)D在第二象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（-1，3）；

（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
由題意得：，
解得，
所以，拋物線解析式為y=-x²+x；

（3）存在一點(diǎn)P（1，1），使得PA+PB+PC+PD．
理由如下：顯然AC、BD的交點(diǎn)Q滿足QA+QB+QC+QD最小，
設(shè)直線AC解析式為y=mx+n，
∵A（，0），C（2，3），
∴，
解得，
∴直線AC的解析式為y=2x-1，
設(shè)直線BD的解析式為y=ex+f，
∵B（2，0），D（-1，3），
∴，
解得，
∴直線BD的解析式為y=-x+2，
聯(lián)立，
解得，
∴Q（1，1），
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x²+x=1，
∴點(diǎn)Q在此拋物線上，
∴存在點(diǎn)P（1，1）使得PA+PB+PC+PD最小．
分析：（1）根據(jù)AB∥CD可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，再求出點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離，然后根據(jù)點(diǎn)D在第二象限寫出坐標(biāo)即可；
（2）把原點(diǎn)O的坐標(biāo)與點(diǎn)（7，1）代入拋物線解析式，再根據(jù)對(duì)稱軸-=4，解關(guān)于a、b、c的三元一次方程組即可得解；
（3）根據(jù)梯形的性質(zhì)，AC、BD的交點(diǎn)滿足PA+PB+PC+PD最小，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC、BD的解析式，再聯(lián)立求解得到交點(diǎn)坐標(biāo)，如果交點(diǎn)坐標(biāo)在拋物線圖象上，則存在，否則不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的問題，主要利用了直角梯形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線的交點(diǎn)的求解，綜合題，但是難度不大，只要仔細(xì)分析便不難求解．