Question

某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，有如下探討：

甲同學：我發(fā)現(xiàn)這種多邊形不一定是正多邊形．如圓內(nèi)接矩形不一定是正方形．
乙同學：我知道，邊數(shù)為3時，它是正三角形；我想，邊數(shù)為5時，它可能也是正五邊形…
丙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)為6時，它也不一定是正六邊形．如圖2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，這樣構(gòu)造的六邊形ADBECF不是正六邊形．
（1）如圖1，若圓內(nèi)接五邊形ABCDE的各內(nèi)角均相等，則∠ABC=______，請簡要說明圓內(nèi)接五邊形ABCDE為正五邊形的理由．
（2）如圖2，請證明丙同學構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．
（3）根據(jù)以上探索過程，就問題“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”的結(jié)論與“邊數(shù)n（n≥3，n為整數(shù)）”的關(guān)系，提出你的猜想（不需證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出正五邊形的內(nèi)角和，再求出各角的度數(shù)；根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得出=，利用等式的性質(zhì)，兩邊同時減去 即可得到=根據(jù)同弧所對的弦相等，得出DC=AE；
（2）由圖知∠AFC對，由=，而∠DAF對的=+=+=，故可得出∠AFC=∠DAF．，同理可證，其余各角都等于∠AFC，由此即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）、（2）的證明即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵五邊形的內(nèi)角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC==108°，
理由：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A對著，∠B對著，
∴=，
∴-=-，即=，
∴BC=AE．
同理可證其余各邊都相等，
∴五邊形ABCDE是正五邊形；

（2）由圖知∠AFC對，
∵=，而∠DAF對的=+=+=，
∴∠AFC=∠DAF．
同理可證，其余各角都等于∠AFC，
故圖2中六邊形各角相等；

（3）由（1）、（2）可知，當n（n≥3，n為整數(shù)）是奇數(shù)時，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；
當n（n≥3，n為整數(shù)）時偶數(shù)時，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形不一定為正多邊形．
點評：本題考查的是正多邊形形和圓，熟知弧、圓心角、弦的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．