Question

6．已知，AB、AC是圓O的兩條弦，AB=AC，過圓心O作OH⊥AC于點H．

（1）如圖1，求證：∠B=∠C；
（2）如圖2，當H、O、B三點在一條直線上時，求∠BAC的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點E為劣弧BC上一點，CE=6，CH=7，連接BC、OE交于點D，求BE的長和$\frac{DE}{OD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OA．欲證明∠B=∠C，只要證明△AOC≌△AOB即可．
（2）由OH⊥AC，推出AH=CH，由H、O、B在一條直線上，推出BH垂直平分AC，推出AB=BC，由AB=AC，推出AB=AC=BC，推出△ABC為等邊三角形，即可解決問題．
（3）過點B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．設ME=x，則BE=2x，BM=$\sqrt{3}$x，在△BCM中，根據(jù)BC²=BM²+CM²，可得BM=5$\sqrt{3}$，推出sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，推出NE=$\frac{15\sqrt{3}}{7}$，OK=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CK=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，由NE∥OK，推出DE：OD=NE：OK即可解決問題．

解答 證明：（1）如圖1中，連接OA．

∵AB=AC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AB}$，
∴∠AOC=∠AOB，
在△AOC和△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{∠AOC=∠AOB}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOB，
∴∠B=∠C．

解：（2）連接BC，

∵OH⊥AC，
∴AH=CH，
∵H、O、B在一條直線上，
∴BH垂直平分AC，
∴AB=BC，∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°．

解：（3）過點B作BM⊥CE延長線于M，過E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．

∵CH=7，
∴BC=AC=14，
設ME=x，
∵∠CEB=120°，
∴∠BEM=60°，
∴BE=2x，
∴BM=$\sqrt{3}$x，
△BCM中，∵BC²=BM²+CM²，
∴14²=（$\sqrt{3}$x）²+（6+x）²，
∴x=5或-8（舍棄），
∴BM=5$\sqrt{3}$，
∴sin∠BCM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴NE=$\frac{15\sqrt{3}}{7}$，
∴OK=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CK=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∵NE∥OK，
∴DE：OD=NE：OK=45：49．

點評 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)．線段的垂直平分線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，屬于中考壓軸題．