Question

（2013•張灣區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點(diǎn)．設(shè)AM的長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是

4＞x≥2.4

．

Answer 1

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四邊形AEPF是矩形，求出AM=

1

2

EF=

1

2

AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．

解答：解：連接AP，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB²+AC²=36+64=100，BC²=100，
∴AB²+AC²=BC²，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M為EF中點(diǎn)，
∴AM=

1

2

EF=

1

2

AP，
當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP值最小，
此時(shí)S_△BAC=

1

2

×6×8=

1

2

×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范圍是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范圍是AM≥2.4（即x≥2.4）．
故答案為：4＞x≥2.4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂線段最短，三角形面積，勾股定理的逆定理，矩形的判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AP的范圍和得出AM=

1

2

AP．