Question

某企業(yè)去年開始生成一種新產品，每件成本50元，由于新產品市場占有率較低，上市初期銷量逐漸減少，1至6月，月銷售量y₁（件）與月份x（月）滿足一次函數關系：隨著新產品逐漸得到市場認可，銷量增加，6至12月，月銷售量y₂（件）與月份x（月）滿足二次函數關系，且6月份的月銷售量是該二次函數的最小值，它們的圖象如圖所示．已知1至6月每件該產品的售價z（元）與月份x之間滿足函數關系：z=60+

5

2

x（1≤x≤6，x為整數）：除生成成本外，平均每銷售一件產品還需額外支出的雜費p（元）與月份x之間滿足函數關系：p=

1

2

x（1≤x≤6，x為整數），從7月至12月每件產品的售價和額外支出的雜費均穩(wěn)定在6月的水平．

（1）根據題中圖象，求出y₁與y₂與x之間的函數關系式；
（2）求出在去年1至12月，企業(yè)銷量該零件在哪個月獲得的利潤W（元）最大？并求出這個最大值；
（3）今年初以來，由于物價上漲及積壓了去年未銷售的產品等因素，該企業(yè)每月均需支出雜費6000元（不論每月銷售量如何，且天數不滿一月時，按整月計算）．為出來去年積壓的4000件庫存產品，該企業(yè)計劃采取新的營銷策略，據銷售部門調研，物價部門規(guī)定其銷售單價不得高于每件75元，當按最高單價75元銷售時，這批庫存產品月均銷售350件，當單價每降低1元，月均銷售將增加50元．現(xiàn)有兩種銷售方案，一是直接按最高單價銷售，另一種是采用上述降價促銷，以獲得月均利潤最高的方式去銷售，若將這批庫存產品全部售出，請比較月均獲利最多和銷售最高這兩種銷售方案，哪一種總獲利較多，多多少元？

Answer 1

考點：二次函數的應用

專題：

分析：（1）設出一次函數與二次函數解析式，利用待定系數法求出即可；
（2）利用獲得的利潤=（每件產品的利潤-額外支出的雜費）×月銷售量，列出函數分段對比即可；
（3）把兩種方案分別計算比較結果即可．

解答：解：（1）設y₁=kx+b，把（1，600）（4，450）代入解析式得，

k+b=600 4k+b=450

，解得

k=-50 b=650

∴y₁=-50x+650；
把x=6代入y₁得y=350；
設y₂=a（x-6）²+350，
把（10，430）代入解得a=5，
∴y₂=5（x-6）²+350；
（2）當1≤x≤6時
W=（60+

5

2

x-50-

1

2

x）（-50x+650）
=-100（x-4）²+8100；
在4月份時，獲得的最大利潤為8100元；
當7≤x≤12時
W=[5（x-6）²+350]（60+6×

5

2

-50-

1

2

×6）
=110（x-6）²+7700；
∵y隨x增大而增大，
∴當x=12時，獲得的利潤最大，最大利潤為110×（12-6）²+7700=11660元；
綜上所知12月獲得的利潤最大，這個最大值為11660元．
（3）直接按最高單價銷售獲利：
（75-50）×4000-6000×

4000

350

=28000元；
降價促銷：
設降價x元銷售，所獲得的利潤為W，由題意得
W=（75-50-x）×4000-6000×

4000

350+50x

=-4000x+100000-6000×

4000

350+50x

，
4000能被350+50x整除且符合題意，x可以取1、3、9、13，
當x=1，W=3600O；
當x=3，W=40000；
當x=9，W=34000；
當x=13，W=24000；
綜上所知降價促銷當降價3元時，利潤最大為40000元；
所以按降價促銷獲利最多，多40000-28000=12000元；
答：按降價促銷總獲利較多，多12000元．

點評：此題綜合考查了二次函數的實際應用，以及利用函數解決方案選擇的問題，注意分段函數的運用．