Question

（本小題滿分8分）         

如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在點(diǎn)F處測得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．
（1）判斷AB、AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求兩個(gè)島嶼A和B之間的距離（結(jié)果精確到0.1km）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，
sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
 

Answer 1

（1）相等，證明：∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BF．
又∵∠AFP＝60°，∴∠BFA＝60°．
在△AEF與△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，
∴△AEF≌△ABF，∴AB＝AE．   …………………………………………  4分
（2）作AH⊥PQ，垂足為H，設(shè)AE＝x，
則AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．
Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，
∴x≈3.6，即AB≈3.6 km．答：略．…………………………………………8分

此題考查的知識點(diǎn)有三角形全等、三角函數(shù)的計(jì)算。