Question

（2013•達(dá)州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x軸于點(diǎn)A（5，0），交y軸于點(diǎn)B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點(diǎn)C，且AC=3．取BO的中點(diǎn)D，連接CD、MD和OC．
（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、M、A，其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PD、PM，求△PDM的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PDM的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使S_△QAM=

1

6

S_△PDM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA為直徑，就有∠ACO=90°，D為OB的中點(diǎn)，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)條件可以得出△ACO∽△AOB而求出

AC

AO

=

AO

AB

，從而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理就可以求出OB的值，根據(jù)D是OB的中點(diǎn)就可以求出D的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，求出對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)連接AD交對(duì)稱軸于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)S_△PDM=S_△ADM-S_△APM而求出其值就可以表示出S_△QAM的大小，設(shè)Q的坐標(biāo)為m，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出橫坐標(biāo)而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連接CM，
∵AO是直徑，M是圓心，
∴CM=OM，∠ACO=90°，
∴∠MOC=∠MCO．
∵D為OB的中點(diǎn)，
∴CD=OD，
∴∠DOC=∠DCO．
∵∠DOC+∠MOC=90°，
∴∠DCO+∠MCO=90°，
即∠MCD=90°，
∴CD是⊙M的切線；

（2）解：∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，
∴△ACO∽△AOB，
∴

AC

AO

=

AO

AB

，
∴

3

5

=

5

AB

，
∴AB=

25

3

．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
BO=

20

3

，
∵D為OB的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

OB=

10

3

，
∴D（0，

10

3

）．
∵OM=AM=

1

2

OA=

5

2

，
∴M（

5

2

，0）．設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-

5

2

）（x-5），由題意，得

10

3

=a（0-

5

2

）（0-5），
解得：a=

4

15

，
∴拋物線的解析式為：y=

4

15

（x-

5

2

）（x-5），
=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
連接AD交對(duì)稱軸于P，設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，由題意，得

10 3 =b 0=5k+b

，
解得：

k=- 2 3 b= 10 3

，
∴直線AD的解析式為：y=-

2

3

x+

10

3

，
當(dāng)x=

15

4

時(shí)，
y=

5

6

，
∴P（

15

4

，

5

6

）；

（3）解：存在．
∵S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
∴S_△PDM=

1

2

×

5

2

×

10

3

-

1

2

×

5

2

×

5

6

，
=

25

8

，
∴S_△QAM=

25

8

×

1

6

=

25

48

．
設(shè)Q的橫坐標(biāo)為m，由題意，得

1

2

×

5

2

|m|=

25

48

，
∴|m|=

5

12

，
∴m=±

5

12

，
當(dāng)m=

5

12

時(shí)，

5

12

=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
x₁=

15+5 2

4

，x₂=

15-5 2

4

，
當(dāng)m=-

5

12

時(shí)，
-

5

12

=

4

15

（x-

15

4

）²-

5

12

．
x=

15

4

．
∴Q（

15+5 2

4

，

5

12

），（

15-5 2

4

，

5

12

），（

15

4

，-

5

12

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角定理的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，圓的切線的判定定理的運(yùn)用，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，拋物線的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，軸對(duì)稱性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出拋物線的解析式是解答本題的關(guān)鍵．