Question

如圖①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=10，∠C=60°．
（1）求AD的長；
（2）若動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向終點(diǎn)D運(yùn)動（如圖②），在P點(diǎn)運(yùn)動的過程中，△ABP的面積變了嗎？若改變，請說明理由；若沒有改變，那么△ABP的面積為

6

3

．
（3）在（2）的條件下，若動點(diǎn)Q同時以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，過點(diǎn)Q作QM∥CD交BC于M（如圖③），探究：四邊形PDQM可能為菱形嗎？若可能，請求出BM的長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AE∥BC交CD于E，可得四邊形ABCE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得CE=AB，AE=BC，然后求出AD=AE，DE的長，再判斷出△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等解答即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A到CD的距離，然后根據(jù)平行線間的距離相等可得點(diǎn)P到AB的距離，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；
（3）根據(jù)等腰梯形同一底上的兩底角相等可得∠D=60°，再根據(jù)菱形的對邊平行MP∥DQ，利用兩直線平行，同位角相等可得∠CPM=∠D=60°，然后判斷出△CPM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得CP=MP=CM，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得MP=PD，從而得到CP=PD，求出CP，再根據(jù)BM=BC-CM代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AE∥BC交CD于E，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
∴CE=AB=4，AE=BC，
∴DE=CD-CE=10-4=6，
∵AD=BC（等腰梯形），
∴AD=AE，
又∵∠C=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=6；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，點(diǎn)A到CD的距離為

3

2

DE=

3

2

×6=3

3

，
∵AB∥CD，
∴點(diǎn)P到AB的距離為3

3

，
∴△ABP底邊AB和AB邊上的高不變，面積是定值，不變，
△ABP的面積=

1

2

AB•3

3

=

1

2

×4×3

3

=6

3

；

（3）在等腰梯形ABCD中，∠D=∠C=60°，
∵M(jìn)P∥DQ（菱形的對邊平行），
∴∠CPM=∠D=60°，
∴△CPM是等邊三角形，
∴CP=MP=CM，
在菱形PDQM中，MP=PD，
∴CP=PD，
∴CP=

1

2

CD=

1

2

×10=5，
又∵BC=AD=6，
∴BM=BC-CM=6-5=1，
故，四邊形PDQM可以為菱形，此時BM=1．
故答案為：6

3

．

點(diǎn)評：本題是四邊形綜合題型，主要涉及等腰梯形的性質(zhì)，梯形的問題難點(diǎn)在于作出合適的輔助線，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，以及等底等高的三角形的面積相等，綜合題，但難度不是很大．