Question

在比較a^a+1和（a+1）^a的大小時(shí)（a是自然數(shù)），我們從分析a=1，a=2，a=3…這些簡(jiǎn)單情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過(guò)歸納，再得出結(jié)論．
（1）①1²______2¹，②2³______3²，③3⁴______4³，④4⁵______5⁴，…
（2）從第（1）題結(jié)果歸納，可猜出a^a+1和（a+1）^a的大小關(guān)系是怎樣的？
（3）請(qǐng)比較一下2008²⁰⁰⁹與2009²⁰⁰⁸的大小．

Answer 1

解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=48，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵，＞5⁴．
故答案為：＜，＜，＞，＞；
（2）由（1）可知，
當(dāng)1≤a≤2時(shí)（或a=1或2時(shí)），a^a+1＜（a+1）^a，
當(dāng)a＞2時(shí)，a^a+1＞（a+1）^a；
（3）∵a=2008＞2，
∴2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．
分析：（1）先根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出各數(shù)的值，再根據(jù)有理數(shù)大小的比較法則進(jìn)行比較；
（2）根據(jù)（1）中有理數(shù)的大小總結(jié)出規(guī)律；
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律直接得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的乘方，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)比較大小的法則比較出（1）中各數(shù)的大小，總結(jié)出規(guī)律．