Question

如圖，AE是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，BC∥AE，BD平分∠ABC交AE于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F
（1）求證：AC=AD；
（2）若BC=，F(xiàn)C=，求AB長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：作直徑AG交BC于H，

∵AE是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，
∴AG⊥AD，
∵BC∥AE，
∴AG⊥BC，
∵AG為直徑，
∴AG是BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵BC∥AE，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴AC=AD．

（2）解：設(shè)AB=x，則AC=AD=x
∵BC∥AE，
∴△ADF∽△CBF，
∴
∴
∴x=6+3
分析：（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可．
（2）已知兩邊長(zhǎng)，求其它邊的長(zhǎng)，可以來三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例來求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、相似三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．