如圖,已知拋物線與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,若已知A點的坐標為A(﹣2,0).
(1)求拋物線的解析式及它的對稱軸方程;
(2)求點C的坐標,連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)試判斷△AOC與△COB是否相似?并說明理由;
(4)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ACQ為等腰三角形?若不存在,求出符合條件的Q點坐標;若不存在,請說明理由.
解:(1)∵拋物線的圖象經(jīng)過點A(﹣2,0),
∴,解得:。
∴拋物線解析式為。
又∵,
∴對稱軸方程為:x=3。
(2)在中,令x=0,得y=4,∴C(0,4);
令y=0,即,整理得x2﹣6x﹣16=0,解得:x=8或x=﹣2。
∴A(﹣2,0),B(8,0)。
設直線BC的解析式為y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐標分別代入解析式,得:
,解得。
∴直線BC的解析式為:。
(3)可判定△AOC∽△COB成立。理由如下:
在△AOC與△COB中,∵OA=2,OC=4,OB=8,∴。
又∵∠AOC=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB。
(4)存在。
∵拋物線的對稱軸方程為:x=3,∴可設點Q(3,t),則可求得:
。
①當AQ=CQ時,有,即25+t2=t2﹣8t+16+9,解得t=0。
∴Q1(3,0)。
②當AC=AQ時,有,即t2=﹣5,此方程無實數(shù)根,
∴此時△ACQ不能構成等腰三角形。
③當AC=CQ時,有,整理得:t2﹣8t+5=0,解得:。
∴點Q坐標為:Q2(3,),Q3(3,)。
綜上所述,存在點Q,使△ACQ為等腰三角形,點Q的坐標為:Q1(3,0),Q2(3,),Q3(3,)
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式,利用配方法或利用公式求出對稱軸方程。
(2)在拋物線解析式中,令x=0,可求出點C坐標;令y=0,可求出點B坐標.再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式。
(3)根據(jù),∠AOC=∠BOC=90°,可以判定△AOC∽△COB。
(4)本問為存在型問題.若△ACQ為等腰三角形,則有三種可能的情形,需要分類討論,逐一計算,避免漏解。
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