Question

已知：關(guān)于x的方程x²+3x+a=0①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3，關(guān)于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有實(shí)數(shù)根且k為正整數(shù)，求代數(shù)式

k-1

k-2

的值．

Answer 1

分析：先根據(jù)關(guān)于x的方程x²+3x+a=0①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得兩根的和與兩根的積，再根據(jù)

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=3，得到關(guān)于a的方程，得a的值，再由關(guān)于x的方程（k-1）x²+3x-2a=0②有實(shí)數(shù)根，即判別式△≥0，k為正整數(shù)，求出k值，代入代數(shù)式

k-1

k-2

求值．

解答：解法一：設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂
根據(jù)題意，得

x1+x2=-3 x1•x2=a 1 x1 + 1 x2 =3

∴

x1+x2

x1•x2

=3，即

-3

a

=3．③
解得a=-1
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-1是方程③的解，且使方程x²+3x-1=0有實(shí)數(shù)根．
將a=-1代入方程②，得（k-1）x²+3x+2=0
當(dāng)k=1時(shí)，一元一次方程3x+2=0有實(shí)數(shù)根．
∴

k-1

k-2

=

1-1

1-2

=0
當(dāng)k≠1時(shí)，方程②為一元二次方程，
且△=9-8（k-1）≥0．
解得：k≤

17

8

∴k為正整數(shù)，且k≠1，
∴k=2
而k=2時(shí)，代數(shù)式

k-1

k-2

無意義
綜上所述，代數(shù)式

k-1

k-2

的值為0．
解法二：設(shè)方程①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂
根據(jù)題意，得

△1=9-4a≥0 x1+x2=-3 x1•x2=a 1 x1 + 1 x2 =3

∴

x1+x2

x1•x2

=

-3

a

=3且a≤

9

4

．
解得a=-1，以下同解法一

點(diǎn)評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．