已知:如圖,四邊形ABCD是等腰梯形,其中ADBC,AD=2,BC=4,AB=DC=2,點M從點B開始,以每秒1個單位的速度向點C運(yùn)動;點N從點D開始,沿D→A→B方向,以每秒1個單位的速度向點B運(yùn)動.若點M、N同時開始運(yùn)動,其中一點到達(dá)終點,另一點也停止運(yùn)動,運(yùn)動時間為t(t>0).過點N作NP⊥BC與P,交BD于點Q.
(1)點D到BC的距離為______;
(2)求出t為何值時,QMAB;
(3)設(shè)△BMQ的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)求出t為何值時,△BMQ為直角三角形.
(1)
3


(2)過A作AE⊥BC于E,過D作DF⊥BC于F,則四邊形AEFD是矩形.
BE=CF=
BC-AD
2
=1.
直角三角形CFD中,CF=1,CD=2,cos∠C=
1
2

∴∠C=60°,DF=
3

∴∠ABE=∠C=60°
∵QMAB
∴∠QMP=60°
∵BM=t,PF=ND=t,F(xiàn)C=1,BC=4
∴PM=3-2t,BP=3-t.
直角三角形QPM中,∠QMP=60°,PM=3-2t,QP=
3
(3-2t).
∵QP⊥BC,DF⊥BC
∴QPDF,
∴△BQP△BDF,
BP
BF
=
QP
DF
,即
3-t
3
=
3
(3-2t)
3

∴5t=6,即t=1.2(s)
當(dāng)t=1.2s時,QMAB

(3)當(dāng)0<t≤2時,三角形BDF中,BF=3,DF=
3
,
∴BD=2
3

三角形BCD中,CD=2,BD=2
3
,BC=4,
因此BD2+CD2=BC2,
即三角形BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,∠DBC=30°.
直角三角形BQP中,BP=3-t,∠DBC=30°,
∴PQ=
3
3
(3-t)
因此:S=
1
2
×t×
3
3
(3-t)=-
3
6
t2+
3
2
t
當(dāng)2<t<4時,直角三角形NBP中,∠ABC=60°,BN=4-t,
∴BP=
4-t
2

在直角三角形BPQ中,∠DBC=30°,BP=
4-t
2

∴QP=
3
(4-t)
6

因此:S=
1
2
×t×
3
(4-t)
6
=-
3
12
t2+
3
3
t

(4)當(dāng)0<t≤2時,即N在AD上時,分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)∠BMQ=90°,即M與P點重合,那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得:t=1.5s.
②當(dāng)∠BQM=90°,在直角三角形NQD中,ND=t,∠ADB=∠DBC=30°,
∴NQ=
3
3
t.
∵NP=
3

∴QP=
3
-
3
3
t
在直角三角形BQM中,∠DBC=30°,BM=t
∴QM=
1
2
t
在直角三角形QPM中,∠QMP=60°,QM=
1
2
t
∴QP=
3
4
t
3
-
3
3
t=
3
4
t.
解得t=
12
7
s.
當(dāng)2<t<4時,∠BQM=90°
直角三角形BNP中,BN=4-t,∠ABC=60°,
∴BP=
4-t
2
,
∴PM=BM-BP=t-
4-t
2
=
3t-4
2

在直角三角形BPQ中,∠DBC=30°,BP=
4-t
2

∴PQ=
3
(4-t)
6

直角三角形QPM中,∠QMP=60°,PM=
3t-4
2

∴PQ=
3
(3t-4)
2

因此
3
(4-t)
6
=
3
(3t-4)
2
,
解得t=1.6s,與此時t的取值范圍不符,
因此這種情況不成立.
綜上所述,當(dāng)t=1.5s或
12
7
s,△BMQ是直角三角形.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,C(0,3),過點C開口向下的拋物線交x軸于點A、B(點A在點B的右邊),已知∠CBA=45°,tanA=3;
(1)求A、B兩點坐標(biāo);
(2)求拋物線解析式及拋物線頂點D的坐標(biāo);
(3)E(0,m)為y軸上一動點(不與點C重合)
①當(dāng)直線EB與△BCD外接圓相切時,求m的值;
②指出點E的運(yùn)動過程中,∠DEC與∠DBC的大小關(guān)系及相應(yīng)m的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:直線y=2x+6與x軸和y軸分別交于A、C兩點,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A、C,點B是拋物線與x軸的另一個交點.
(1)求拋物線的解析式及B的坐標(biāo);
(2)設(shè)點P是直線AC上一點,且S△ABP:S△BPC=1:3,求點P的坐標(biāo);
(3)直線y=
1
2
x+a與(1)中所求的拋物線交于M、N兩點,問:是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點為C,頂點為M,直線CM的解析式y(tǒng)=-x+2并且線段CM的長為2
2
,
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)拋物線與x軸有兩個交點A(x1,0)、B(x2,0),且點A在B的左側(cè),求線段AB的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

拋物線y=mx2+(m-3)x-3(m>0)與x軸交于A、B兩點,且點A在點B的左側(cè),與y軸交于點C,OB=OC.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)若點P(x1,b)與點Q(x2,b)在(1)中的拋物線上,且x1<x2,PQ=n.
①求4x12-2x2n+6n+3的值;
②將拋物線在PQ下方的部分沿PQ翻折,拋物線的其它部分保持不變,得到一個新圖象.當(dāng)這個新圖象與x軸恰好只有兩個公共點時,b的取值范圍是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知⊙P的圓心坐標(biāo)為(1.5,0),半徑為2.5,⊙P與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸的負(fù)半軸交于點D.
(1)求D點的坐標(biāo);
(2)求過A、B、D三點的拋物線的解析式;
(3)設(shè)平行于x軸的直線交此拋物線于E、F兩點,問:是否存在以線段EF為直徑的圓O'恰好與⊙P相外切?若存在,求出其半徑r及圓心O'的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2-5x+4a與x軸相交于點A、B,且經(jīng)過點C(5,4).該拋物線頂點為P.
(1)求a的值和該拋物線頂點P的坐標(biāo).
(2)求△PAB的面積;
(3)若將該拋物線先向左平移4個單位,再向上平移2個單位,求出平移后拋物線的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A(x1,0),B(x2,0)(A在B的左邊),且x1+x2=4.
(1)求b的值及c的取值范圍;
(2)如果AB=2,求拋物線的解析式;
(3)設(shè)此拋物線與y軸的交點為C,頂點為D,對稱軸與x軸的交點為E,問是否存在這樣的拋物線,使△AOC≌BED全等,如果存在,求出拋物線的解析式;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

二次函數(shù)y1=ax2-2bx+c和y2=(a+1)•x2-2(b+2)x+c+3在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,若OB=OA,BC=DC,且點B,C的橫坐標(biāo)分別為1,3,求這兩個函數(shù)的解析式.

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