Question

如圖 ，已知直線 L過點A（0，1）和B（1，0），P是x軸正半軸上的動點，OP的垂直平分線交L于點Q，交x軸于點M．
（1）直接寫出直線L的解析式；
（2）設OP=t，的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式；并求出當時，S的最大值；
（3）直線L₁過點A且與x軸平行，問在L₁上是否存在點C， 使得是以Q為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標，并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）； （2）∵，∴Q點的橫坐標為， ①當，即時，， ∴ ②當時，， ∴． 當，即時，， ∴當時，S有最大值； （3）由OA=OB=1，所以是等腰直角三角形，若在上存在點C，使得是以Q為直角頂點的等腰直角三角形，則PQ=QC，所以OQ=QC，又軸，則C，O兩點關于直線L對稱，所以AC=OA=1，得C（1，1）． 下證．連CB，則四邊形OABC是正方形． （i）當點P在線段OB上，Q在線段AS上 由對稱性，得 ∴ ∴ （ii）當點P在線段OB的延長線上，Q在線段AB上時，如圖-2，如圖-3 ∵， ∴ （iii）當點Q與點B重合時，顯然． 綜合（i）（ii）（iii），． ∴在上存在點，使得是以Q為直角頂點的等腰直角三角形．