Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）．圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1、3，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．下面五個(gè)結(jié)論：①2a+b=0；②a+b+c＞0；③當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x值的增大而增大；④當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，ax²+bx+c＜0；⑤只有當(dāng)a=

1

2

 時(shí)，△ABD是等腰直角三角形．那么，其中正確的結(jié)論是

 

．（只填你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=1可判斷①正確；根據(jù)圖象得x=1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)數(shù)，可判斷以②錯(cuò)誤；
根據(jù)拋物線當(dāng)a＞0，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小可判斷以③錯(cuò)誤；利用x=-1或x=3時(shí)，ax²+bx+c=0，可判斷④錯(cuò)誤；

解答：解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1、3，
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），而點(diǎn)A與點(diǎn)B是拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴x=-

b

2a

=1，即2a+b=0，所以①正確；
∵當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，
∴a+b+c＜0，所以②錯(cuò)誤；
∵a＞0，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x值的增大而減，所以③錯(cuò)誤；
由于當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，ax²+bx+c＜0，而x=-1或x=3時(shí)，ax²+bx+c=0，所以④錯(cuò)誤；
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a，對(duì)稱軸x=1交x軸與E點(diǎn)，如圖，
當(dāng)△ABD是等腰直角三角形，則DE=

1

2

AB，即|

4a•(-3a)-4a2

4a

|=

1

2

×4，
∴a=

1

2

，所以⑤正確．
故答案為①⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與系數(shù)的關(guān)系：a＞0，開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小；對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

；拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．也考查了拋物線的交點(diǎn)式以及等腰直角三角形的性質(zhì)．