Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，在軸上任取一點，連接，作的垂直平分線，過點作軸的垂線，與交于點．設點的坐標為．

（Ⅰ）當的坐標取時，點的坐標為________；

（Ⅱ）求，滿足的關系式；

（Ⅲ）是否存在點，使得恰為等邊三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，， ．

【解析】

（Ⅰ）作AN⊥PM于N，根據線段垂直平分線的性質得到PA=PM，根據勾股定理計算；
（Ⅱ）分點M在x軸的正半軸上、點M在x軸的負半軸上兩種情況，根據勾股定理列式計算；
（Ⅲ）根據勾股定理求出MA，根據（Ⅱ）中結論列出方程，解方程即可．

（Ⅰ）作AN⊥PM于N，

則四邊形AOMN是矩形，
∴AN=OM=3，MN=OA=2，
∵l1是AM的垂直平分線，
∴PA=PM，
在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即32+（y-2）2=y2，
解得，y=，
∴點P的坐標為（3，），
故答案為：（3，）；
（Ⅱ）如圖，過點作于，連接，

可得為矩形，可得，

∵軸，點的坐標為，

∴點的坐標為，

∴，，

∵點在的垂直平分線上，

∴，

在中，，且，

∴，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，要使△MPA為等邊三角形，只需MA=MP即可，
∵點A的坐標為（0，2），點M的坐標為（0，x），
∴AM=，
則，
解得，x=±2，

∴或．