Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．
（1）已知CD=4cm，求AC的長；
（2）求證：AB=AC+CD．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值．
（2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD．

解答：解：（1）∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=CD=4cm，
又∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
又∵∠C=90°，
∴∠B=∠BDE=45°，
∴BE=DE=4cm．
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=4

2

cm，
∴AC=BC=CD+BD=4+4

2

（cm）．

（2）∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ADC，
∴AC=AE，
又∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．

點評：本題考查的是角平分線的性質，等腰直角三角形的性質，比較簡單．