Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線y=-3x-3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）已知D（4，-1），在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以線段PD為直徑的⊙O′經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若點(diǎn)P存在，求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）已知正方形BEFG的頂點(diǎn)E在x軸上，除B點(diǎn)外，正方形BEFG還有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，請(qǐng)直接寫出E點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=-3x-3求出與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用B的坐標(biāo)，結(jié)合待定系數(shù)法求出a、b、c值，得到二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到O′點(diǎn)的坐標(biāo)為（

x+4

2

，

x2-2x-4

2

），再根據(jù)同圓的半徑相等得到O′O=O′D，列出關(guān)于x的方程，求解即可；
（3）根據(jù)題意，不妨設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)F在拋物線y=x²-2x-3上．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)BE為正方形BEFG的邊時(shí)，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），根據(jù)正方形的邊長相等，BE=EF列出關(guān)于m的方程，求解即可；②當(dāng)BE為正方形BEFG的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，得出F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

m+3

2

，|

m-3

2

|），將它代入拋物線的解析式，列出關(guān)于m的方程，求解即可．

解答：解：（1）直線y=-3x-3與x軸的交點(diǎn)為（-1，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，-3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）在拋物線上存在點(diǎn)P（3+2

3

，12+8

3

）或（3-2

3

，12-8

3

），能夠使得以線段PD為直徑的⊙O′經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．理由如下：
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3）．
∵線段PD為⊙O′的直徑，D（4，-1），
∴O′點(diǎn)的坐標(biāo)為（

x+4

2

，

x2-2x-4

2

）．
∵O′O=O′D，
∴（

x+4

2

）²+（

x2-2x-4

2

）²=（

x+4

2

-4）²+（

x2-2x-4

2

+1）²，
整理，得x²-6x-3=0，
解得x=3±2

3

．
當(dāng)x=3+2

3

時(shí)，x²-2x-3=（3+2

3

）²-2（3+2

3

）-3=12+8

3

，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3+2

3

，12+8

3

），
當(dāng)x=3-2

3

時(shí)，x²-2x-3=（3-2

3

）²-2（3-2

3

）-3=12-8

3

，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-2

3

，12-8

3

）；


（3）不妨設(shè)點(diǎn)F在拋物線y=x²-2x-3上，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0）．
分兩種情況：
①當(dāng)BE為正方形BEFG的邊時(shí)，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3）．
∵四邊形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
∴|m-3|=|m²-2m-3|，
即m-3=m²-2m-3，或m-3=-（m²-2m-3），
解得m₁=0，m₂=3，或m₁=-2，m₂=3，
當(dāng)m=3時(shí)，E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（-2，0）；
②當(dāng)BE為正方形BEFG的對(duì)角線時(shí)，
∵BE=FG，BE⊥FG，BE與FG互相平分，
∴點(diǎn)F在BE的垂直平分線上，且點(diǎn)F到BE的距離

1

2

BE，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（

m+3

2

，|

m-3

2

|），
∵點(diǎn)F在拋物線y=x²-2x-3上，
∴|

m-3

2

|=（

m+3

2

）²-2（

m+3

2

）-3，
即

m-3

2

=（

m+3

2

）²-2（

m+3

2

）-3，或-

m-3

2

=（

m+3

2

）²-2（

m+3

2

）-3，
解得m₁=-3，m₂=3，或m₁=-7，m₂=3，
當(dāng)m=3時(shí)，E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不合題意，舍去，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）或（-7，0）．
綜上可知，E點(diǎn)所有可能的坐標(biāo)為（0，0）或（-2，0）或（-3，0）或（-7，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式，正方形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，其中（3）進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．