Question

給出下列命題：
①一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體不可能是三棱柱；
②若a＞0，b＞0，a+b=2，則不等式

a

+

b

≤

2

對一切滿足條件的a，b恒成立；
③函數(shù)y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|的最小值是8；
④已知函數(shù)f（x）=x²+λx，p、q、r為△ABC的三邊，且p＜q＜r，若對所有的正整數(shù)p、q、r都滿足f（p）＜f（q）＜f（r），則λ的取值范圍是λ＞-3．
其中真命題的個數(shù)有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題與定理

專題：

分析：①根據(jù)正視圖是從正面看得到的視圖，分析進行判斷；
②把

a

+

b

利用完全平方公式平方，再根據(jù)非負數(shù)的性質進行判斷；
③分x≤1，1≤x≤2，2≤x≤3，3≤x≤4，x＞4五種情況，去掉絕對值號，再根據(jù)x的取值范圍求解；
④根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，函數(shù)值隨x的增大而增大，再根據(jù)最小的邊整數(shù)p大于對稱軸列式求解即可得到λ的取值范圍．

解答：解：①如果從正面看三棱柱的底面，則正視圖是三角形，故本小題錯誤；
②∵（

a

+

b

）²=a+2

ab

+b，a+b=2，
∴

a

+

b

=

2+2 ab

＞

2

，故本小題錯誤；
③當x≤1時，y=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）=30-10x，當x=1時有最小值20，
當1≤x≤2時，y=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）=28-8x，當x=2時有最小值12，
當2≤x≤3時，y=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）=20-4x，當x=3時有最小值8，
當3≤x≤4時，y=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）=2+2x，當x=3時有最小值8，
當x≥4時，y=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）=10x-30，當x=4時有最小值10，
綜上，x=3函數(shù)的最小值為8，故本小題正確；
④∵p、q、r是△ABC的三邊，且都是正整數(shù)，
∴最小的邊p最小是2，
∵函數(shù)值隨x的增大而增大，
∴-

λ

2

≤2，
解得λ≥-4，故本小題錯誤，
綜上所述，正確的命題只有③1個．
故選A．

點評：本題是對命題與定理的考查，綜合利用了幾何體的三視圖，完全平方公式，分段函數(shù)的求值，二次函數(shù)的增減性，④小題要注意三邊都是正整數(shù)的三角形的最小邊不小于2．