Question

如圖，已知拋物線y=px²-1與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-2），△ABD為直角三角形，l為過點(diǎn)D且平行于x軸的一條直線．
（1）求p的值；
（2）若Q為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷以Q為圓心，QO為半徑的圓與直線l的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）是否存在過點(diǎn)D的直線，使該直線被拋物線所截得的線段是點(diǎn)D到直線與拋物線兩交點(diǎn)間得兩條線段的比例中項(xiàng)？如果存在，請求出直線解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知，△ABD為等腰直角三角形，
又∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（O，-2）
∴OD=2，
∴OA=OB=OD=2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，O）．
將點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，0）代入拋物線解析式，
得p=．

（2）以Q為圓心，QO為半徑的圓與直線l相切．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），則有a²=4b+4．
過Q作QG⊥l，垂足為G，交x軸于H（如圖1）．
∴DQ=b+2．
又∵點(diǎn)Q到直線l的距離OQ=b+2=QG．
∴QG=DQ．
故⊙Q與直線l相切．

（3）假設(shè)存在這樣的直線，該直線被拋物線所截得的線段是點(diǎn)D到直線與拋物線兩交點(diǎn)間的兩條線段的比例中項(xiàng)．
設(shè)直線解析式為）y=kx-2，與拋物線兩交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．
解法一分別過M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足為M'，N'（如圖2）
∴MM'∥NN'，
∴
∵M(jìn)N²=DM．DN，
∴（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0，
∵點(diǎn)M在直線y=kx-2上，
∴y₁=kx₁-2，
∵點(diǎn)M又在拋物線y=x²-1上，
∴y₁=x₁²-1
∴kx₁-2=x₁²-1，
即x₁²-4kx₁+4=0，
同理，有x₂²-4kx₂+4=0
∴x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得16k²-20=o，
解得k=±
當(dāng)k=±時(shí)，有△＞0，
所以，滿足條件的解析式為y=-2和y=--2．
分析：（1）根據(jù)△ABD為等腰直角三角形，點(diǎn)D坐標(biāo)為（O，-2），可求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，O）．將點(diǎn)B的坐標(biāo)（2，0）代入拋物線解析式，得p=．
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），則有a²=4b+4．過Q作QG⊥l，垂足為G，交x軸于H．DQ=b+2．又點(diǎn)Q到直線l的距離QG=b+2．QG=DQ．⊙Q與直線l相切．
（3）先假設(shè)存在這樣的直線，該直線被拋物線所截得的線段是點(diǎn)D到直線與拋物線兩交點(diǎn)間的兩條線段的比例中項(xiàng)．設(shè)直線解析式為：y=kx-2，與拋物線兩交點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．分別過M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足為M'，N'，因?yàn)镸M'∥NN'，可知MN²=DM．DN，即（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0．根據(jù)交點(diǎn)的意義可得x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的兩個(gè)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得16k²-20=o，解得k=±，當(dāng)k=±時(shí)，有△＞0，所以，滿足條件的解析式為y=-2和y=--2．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，交點(diǎn)的意義和二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系等．要熟練掌握才能靈活運(yùn)用．