Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1，求該拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；
（2）若a+b+c=1，是否存在實數(shù)x₀，使得相應(yīng)的y=1？若有，請指明有幾個并證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由；
（3）若a=，c=2+b且拋物線在-1≤x≤2區(qū)間上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=b=1，c=-1，時，拋物線為y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的兩個根為x₁=-1，x₂=，
∴該拋物線與x軸交點的坐標(biāo)是（-1，0）和（，0）；

（2）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²-12a（c-1）
=4b2-12a（-a-b）
=4b²+12ab+12a²
=4（b²+3ab+3a²）
=4[（b+a）²+a²]，
∵a≠0，
∴△＞0，
∴方程3ax²+2bx+c=1有兩個不相等實數(shù)根，
即存在兩個不同實數(shù)x₀，使得相應(yīng)y=1；

（3）a=，c-b=2，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對稱軸為x=-b，
當(dāng)x=-b＜-1時，即b＞1，則有拋物線在x=-1時取最小值為-3，
此時-3=（-1）²+2×（-1）b+b+2，
解得：b=6，符合題意；
當(dāng)x=-b＞2時，即b＜-2，則有拋物線在x=2時取最小值為-3，
此時-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-，不合題意，舍去．
當(dāng)-1≤-b≤2時，即-2≤b≤1，則有拋物線在x=-b時取最小值為-3，
此時-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化簡得：b²-b-5=0，
解得：b=（不合題意，舍去），b=，
綜上可得：b=6或b=．
分析：（1）將a、b、c的值代入，可得出拋物線解析式，從而可求解拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；
（2）由y=1得3ax²+2bx+c=1，表示出方程的判別式的表達式，利用配方法及完全平方的非負性即可判斷出結(jié)論；
（3）a=，c-b=2，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對稱軸為x=-b，以-1≤x≤2為區(qū)間，討論b的取值，根據(jù)最小值為-3，可得出方程，求出b的值即可．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了一元二次方程的解，求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的難點在第三問，關(guān)鍵是分類討論，此題難度較大．