Question

（2012•泉州質(zhì)檢）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知A（0，3）、O（0，0）、C（6，0）、D（3，3），點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿著折線C-D-A運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，過C點(diǎn)作直線GC⊥PC，且與過O、P、C三點(diǎn)的⊙M交于點(diǎn)G，連接OP、PG、OD．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長度為m．
（1）直接寫出∠DCO的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△OPG的最小面積；
（3）設(shè)圓心M的縱坐標(biāo)為n，試探索：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DQ垂直于x軸，如圖所示，由D的坐標(biāo)得到DQ=OQ=3，由C的坐標(biāo)得到OC=6，由OC-OQ求出CQ=3，可得出DQ=CQ，再由∠DQC為直角，得到三角形DQC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可確定出∠DCO為45°；
（2）過P作PB垂直于x軸于點(diǎn)B，由∠DCO為45°，得到三角形PBC為等腰直角三角形，即PB=BC，由P運(yùn)動(dòng)的路程為m，得到PC=m，利用勾股定理表示出PB與BC，用OC-BC表示出OB，在直角三角形OPB中，利用勾股定理表示出OP²，根據(jù)PC與CG垂直，利用90°的圓周角所對的弦為直徑得到PG為圓M的直徑，再利用直徑所對的圓周角為直角，得到PO與OG垂直，同時(shí)利用同弧所對的圓周角相等可得出∠PGO=∠PCO=45°，進(jìn)而確定出三角形OPG為等腰直角三角形，即PO=OG，三角形POG的面積等于兩直角邊乘以的一半，即為

1

2

OP²，將表示出的OP²代入，可得其面積為關(guān)于m的二次函數(shù)，其圖象開口向上，有最小值，其對稱軸為直線x=3

2

，且當(dāng)0＜m≤3

2

時(shí)，S_△OPG隨m的增大而減小，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出此時(shí)S_△OPG的最小值；
（3）由OQ=CQ=DQ，DQ垂直于x軸，得到三角形DOC為等腰直角三角形，即OD=CD，過M作MN垂直于x軸，利用垂徑定理得到N為OC的中點(diǎn)，可得出DN為OC的垂直平分線，連接OM，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)P在DC邊上時(shí)，如左圖可知：∠OPC為鈍角或直角，點(diǎn)M在x軸下方（或x軸上），由三角形OPM為等腰直角三角形，可得出OP=

2

OM，表示出OM，又ON為3，利用勾股定理表示出MN²，將（2）得出的OP²代入，得到關(guān)于m的二次函數(shù)，利用m的范圍即可求出n的范圍；（ii）當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，如右圖所示，由圓的半徑相等得到OM=PM，在直角三角形PDM中，由PD=m-3

2

，DM=3-n，利用勾股定理表示出PM²，在直角三角形OMN中，由ON=3，MN=n，利用勾股定理表示出OM²，兩者相等列出關(guān)于m與n的關(guān)系式，用m表示出n，根據(jù)m的范圍即可求出n的范圍，綜上，得到滿足題意的n的范圍．

解答：解：（1）過D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，如圖所示：
由D（3，3），得到DQ=OQ=3，由C（6，0），得到OC=6，
∴QC=OC-OQ=6-3=3，即DQ=CQ，又∠DQC=90°，
∴△DQC為等腰直角三角形，
∴∠DCO=45°；

（2）過點(diǎn)P作PB⊥x軸于點(diǎn)B，可得△PBC為等腰直角三角形，
∵PC=m，∴PB=BC=

2

2

m，
在Rt△POB中，OB=OC-BC=6-

2

2

m，PB=

2

2

m，
根據(jù)勾股定理得：OP²=（

2

2

m）²+（6-

2

2

m）²，
∵GC⊥PC，
∴PG為⊙M的直徑，
∴∠POG=90°，又∠OGP=∠PCO=45°，
∴△OPG為等腰直角三角形，
∴PO=OG，
∴S_△OPG=

1

2

OP•OG=

1

2

OP²=

1

2

[（

2

2

m）²+（6-

2

2

m）²]=

1

2

（m-3

2

）²+9，
∵S_△OPG是關(guān)于m的二次函數(shù)，其圖象開口向上，有最小值，其對稱軸為直線x=3

2

，
∴當(dāng)0＜m≤3

2

時(shí)，S_△OPG隨m的增大而減小，
則m=3

2

時(shí)，S_△OPG取得最小值為9；

（3）由題意得：∠ODC=90°，△OPC的外心M必在OC的垂直平分線上，
作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON=

1

2

OC=3，可得直線MN經(jīng)過點(diǎn)D，連接OM．
分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)點(diǎn)P在CD上，即0＜m≤3

2

時(shí)，如左圖可知：∠OPC為鈍角或直角，
∴點(diǎn)M在x軸下方（或x軸上），
又由（2）得：OM=

2

2

OP，ON=3，又OP²=（

2

2

m）²+（6-

2

2

m）²，
在Rt△MON中，MN²=OM²-ON²=（

2

2

OP）²-3²=

1

2

（m-3

2

）²+9-9=

1

2

（m-3

2

）²，
∵0＜m≤3

2

，
∴n的取值范圍是：-3＜n≤0；
（ii）當(dāng)點(diǎn)P在AD上，即3

2

＜m≤3

2

+3時(shí)，如右圖，依題意得：MO=PM，
由勾股定理得：ON²+MN²=DM²+PD²，
又ON=3，MN=n，DM=3-n，PD=m-3

2

，
∴3²+n²=（3-n）²+（m-3

2

）²，
整理得：n=

1

6

（m-3

2

）²，
∵3

2

＜m≤3

2

+3，
∴0＜n≤

3

2

，
綜上，得到n的取值范圍是：-3＜n≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，探討此類問題時(shí)要注意各問之間的聯(lián)系，下一問要運(yùn)用上一問的結(jié)論．