Question

4．如圖，已知直線l₁：y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與直線l₂：y=-$\frac{1}{2}$x交于點(diǎn)P．直線l₃：y=-$\frac{3}{2}$x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，與直線l₁交于點(diǎn)Q，與直線l₂交于點(diǎn)R．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-2，1）；
（2）將△POB沿y軸折疊后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，試判斷點(diǎn)P′是否在直線l₃上，并說(shuō)明理由；
（3）求△PQR的面積．

Answer 1

分析 （1）直線l₁：y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，令y=0，求得x=-3，令x=0，求得y=3，得到A、B的坐標(biāo)將直線l₁：y=x+3和直線l₂：y=-$\frac{1}{2}$x聯(lián)立組成有關(guān)x、y的方程組，解方程就能求出兩直線的交點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）求得P′的坐標(biāo)，代入y=-$\frac{3}{2}$x+4即可判斷；
（3）求得Q、R、C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求得．

解答 解：（1）∵直線l₁：y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴令y=0，求得x=-3，令x=0，求得y=3，
∴A（-3，0）、B（0，3），
∵直線l₁與直線l₂y=-$\frac{1}{2}$x交于點(diǎn)P．
∴解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴P（-2，1），
故答案為：（-3，0），（0，3），（-2，1）；
（2）點(diǎn)P?在直線l₃上
∵P（-2，1），且將△POB沿y軸折疊后，點(diǎn)P?與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴P?（2，1），
當(dāng)x=2時(shí)，代入y=-$\frac{3}{2}$x+4得y=-$\frac{3}{2}$×2+4=1，
∴點(diǎn)P?在直線l₃上；
（3）分別過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于F，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，過(guò)點(diǎn)R作RG⊥x軸于G，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{2}{5}$，$\frac{17}{5}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$  得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$
∴R（4，-2），
對(duì)于y=-$\frac{3}{2}$x+4，則y=0得x=$\frac{8}{3}$，
∴C（$\frac{8}{3}$，0），
∴S_△AQC=$\frac{1}{2}$AC×QF=$\frac{1}{2}$×（$\frac{8}{3}$+3）×$\frac{17}{5}$=$\frac{289}{30}$，S_△OCR=$\frac{1}{2}$OC•GR=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×2=$\frac{8}{3}$，S_△AOP=$\frac{1}{2}$OA•PE=$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{3}{2}$，
∴S_△PQR=S_△AQC+S_△OCR-S_△AOP=$\frac{289}{30}$+$\frac{8}{3}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{54}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．例如：若直線y₁=k₁x+b₁與直線y₂=k₂x+b₂平行，那么k₁=k₂．