Question

如圖，已知△ABC中∠A=60°，AB=2cm，AC=6cm，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從頂點(diǎn)C沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)AP=AQ；
（2）是否存在某一時(shí)刻使得△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AP=AQ可以列出關(guān)于t的方程t=6-3t，通過解該方程可以求得t的值；
（2）需要分類討論：當(dāng)∠APQ=90°和∠AQP=90°時(shí)，利用“30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”列出關(guān)于t的方程，通過解方程來求t的值即可．

解答：解：（1）由已知得：AP=t，CQ=3t，
∴AQ=6-3t，
∴t=6-3t，解得t=

3

2

，
∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，AP=AQ；

（2）存在．分兩種情況：
①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，
∵∠A=60°，∴∠AQP=30°，
∴AQ=2AP，即6-3t=2t，解得t=

6

5

；
②當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，
此時(shí)∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，即t=2（6-3t），解得t=

12

7

．
綜上所述，當(dāng)t=

6

5

或

12

7

時(shí)△APQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，一定要分類討論．