已知,如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,連接AC,過點C作直線CD⊥AB于D(AD<DB),點E是精英家教網(wǎng)DB上任意一點(點D、B除外),直線CE交⊙O于點F,連接AF與直線CD交于點G.
(1)求證:AC2=AG•AF;
(2)若點E是AD(點A除外)上任意一點,上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請畫出圖形并給予證明;若不成立,請說明理由.
分析:(1)欲證AC2=AG•AF,即證AC:AG=AF:AC,可以通過證明△AGC∽△ACF得到.
(2)分清E點在AD上有兩種情況,然后逐一證明.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接CB,
∵AB是直徑,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=90°,又∠CAD=∠BAC,
∴△CAD∽△BAC,
∴∠ACD=∠ABC,
∵∠ABC=∠AFC,
∴∠ACD=∠AFC,∠CAG=∠FAC,
∴△ACG∽△AFC,
AC
AG
=
AF
AC
,
∴AC2=AG•AF;

(2)解:當(dāng)點E是AD(點A除外)上任意一點,上述結(jié)論仍成立精英家教網(wǎng)
①當(dāng)點E與點D重合時,F(xiàn)與G重合,如圖所示:
有AG=AF,∵CD⊥AB,
AC
=
AF
,AC=AF,
∴AC2=AG•AF
②當(dāng)點E與點D不重合時(不含點A)時,如圖所示:
精英家教網(wǎng)
證明類似(1).
點評:考查相似三角形的判定方法及圓周角定理的綜合運用.
練習(xí)冊系列答案
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22、已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC是和⊙O相切于點B的切線,⊙O的弦AD平行于OC.
求證:DC是⊙O的切線.

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(2013•門頭溝區(qū)一模)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,M為AB上一點,過點M作DM⊥AB,交弦AC于點E,交⊙O于點F,且DC=DE.
(1)求證:DC是⊙O的切線;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半徑的長.

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(1997•昆明)已知:如圖,AB是⊙O的直徑,直線MN切⊙O于點C,AD⊥MN于D,AD交⊙O于E,AB的延長線交MN于點P.求證:AC2=AE•AP.

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(2012•平谷區(qū)二模)已知,如圖,AB是⊙O的直徑,點E是
AD
的中點,連接BE交AC于點G,BG的垂直平分線CF交BG于H交AB于F點.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,過點B的弦BD⊥OC交⊙O于點D,垂足為E.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=BD,且BD=12cm時,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果不取近似值).

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