Question

如圖，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且tan∠AOx=4．過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出雙曲線和直線AB的解析式，求出拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上能否找到點(diǎn)D，使△BCD周長(zhǎng)最短，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和直接寫出此時(shí)△BCD周長(zhǎng)；
（2）在直線AB的下方的拋物線上找一點(diǎn)P，使△ABP的面積最大．并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的最大面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題干中的數(shù)據(jù)可以直接求出雙曲線和直線AB的解析式，根據(jù)拋物線y=ax²+bx過(guò)A（1，4），B（-2，2），列出二元一次方程組，求出a和b的值即可；
（2）要使△BCD周長(zhǎng)最短，則點(diǎn)D為直線AB與拋物線對(duì)稱軸x=-

3

2

的交點(diǎn)，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出△BCD的周長(zhǎng)；
（3）可以根據(jù)兩種方法解決此小題，①設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線與直線AB平行，且拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△ABP的面積最大，②設(shè)點(diǎn)P（a，a2+3a），過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于x軸交AB于H點(diǎn)，
都要求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABP的最大面積．

解答：解：（1）雙曲線解析式為y=

4

x

，直線解析式為y=2x+2；
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），tan∠AOx=

n

m

=4，又知n=2m+2，
解得m=1，n=4，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
由題意得：y=ax²+bx過(guò)A（1，4），B（-2，-2）得：

4=a+b -2=4a-2b

，
解得a=1，b=3，
即拋物線的解析式為y=x²+3x；

（2）由題意得：點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，所以點(diǎn)D為直線AB與拋物線對(duì)稱軸x=-

3

2

的交點(diǎn)．
所以

y=2x+2 x=- 3 2

，即

x=- 3 2 y=-1

，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

2

，-1），
△BCD的周長(zhǎng)=|BC|+|AB|=3

5

+2

10

，
即△BCD的周長(zhǎng)為3

5

+2

10

；

（3）法（一）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線與直線AB平行，且拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△ABP的面積最大．
∵直線AB為y=2x+2，∴設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線為y=2x+b，
∴

y=2x+b y=x2+3x

，
即2x+b=x²+3x，
△=1+4b=0，
解得b=-

1

4

，
∴

y=2x- 1 4 y=x2+3x

，
∴

x=- 1 2 y=- 5 4

，
法（二）設(shè)點(diǎn)P（a，a²+3a），過(guò)點(diǎn)P作PH垂直于x軸交AB于H點(diǎn)，
則∴H（a，2a+2），
∴PH=2-a-a²，
∴S_△ABP=

1

2

（2-a-a²）•3=-

3

2

（a+

1

2

）2+

27

8

，
∴當(dāng)a=-

1

2

，即P（-

1

2

，-

5

4

），
則S_△ABPmax=

27

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)稱的知識(shí)，解答第三問(wèn)的時(shí)候不止一種方法求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，此題難度一般．