Question

如圖已知點A（-2，-4），B（2，0），拋物線y=ax²+bx+c過點A、O、B三點．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點M是拋物線對稱軸上的一點，試求MO+MA的最小值，并求點M坐標；
（3）在此拋物線上，是否存在一點P，使得以點P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）將點A、B、O三點的坐標代入到二次函數的一般形式中求解即可；
（2）如答圖1所示，連接AC，則AC與對稱軸的交點即為所求之M點；已知點A、C的坐標，利用待定系數法求出直線AC的解析式，進而求出點M的坐標；
（3）根據梯形定義確定點P，分OB∥AP、OA∥BP和AB∥OP三種情況理由圖形的定義求得點P的坐標即可

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-2，-4），B（2，0）、O（0，0）三點，
∴

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

解得：a=-

1

2

，b=1，c=0，
∴拋物線的函數表達式為 y=-

1

2

x2+x（4分）

（2）由B（2，0），C（0，0），且對稱軸為x=1，
可知點B、C是關于對稱軸x=1的對稱點．
如答圖1所示，連接AC，交對稱軸x=1于點M，連接MB，
則MA+MB=MA+MC=AC，根據兩點之間線段最短可知此時MA+MB的值最小．
設直線AB的解析式為y=kx+b，
∵A（-2，-4），B（2，0），
∴

-2k+b=-2 2k+b=0

，解得k=1，b=-2，
∴直線AC的解析式為：y=x-2，
令x=1，得y=-1，
∴M點坐標為（1，-1）．
MO+MA的最小值為4

2

．M（1，-1）；

（3）
①若OB∥AP，點A與點P關于直線x=1對稱，由A（-2，-4），得P（4，-4），則得梯形OAPB．

②若OA∥BP，設直線OA的表達式為y=kx，由A（-2，-4）得，y=2x．
設直線PB的表達式為y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=-4．
∴直線BP的表達式為y=2x-4
由

y=2x-4 y=- 1 2 x2+x

，
則x²+2x-8=0，
解得x=2（不合題意，舍去）或x=4
當x=-4時，y=-12．
∴點P（-4，-12）．則得梯形OAPB．
③若AB∥OP，設直線AB的表達式為y=kx+m，
則

-4=-2k+m 0=2k+m

，解得

k=1 m=-2

．
∴AB的表達式為y=x-2
∴直線OP的表達式為y=x．
由

y=x y=- 1 2 x2+x

，
得x²=0，即x=0（不合題意，舍去），此時點P不存在．
綜上所述，存在兩點P（4，-4）或 P（-4，-12）使得以點 P與點O、A、B為頂點的四邊形是梯形．

點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、軸對稱-最短路線問題以及梯形的定義與應用等知識點，屬于代數幾何綜合題，有一定的難度．第（3）問為存在型問題，注意P點不止一個，此處為易錯點．