Question

（2010•普陀區(qū)一模）設等邊n邊形的邊長為a，面積為S，
（1）試探究等邊三角形內(nèi)部任一點P到三邊的距離（d₁+d₂+d₃）是否為定值？如果不是，請說明理由；如果是，請證明；
（2）請進一步探究等邊四邊形、等邊五邊形、…、等邊n邊形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是否為定值？對此，你能獲得什么規(guī)律？

Answer 1

【答案】分析：（1）將大正三角形化為小三角形，根據(jù)三角形面積公式解答；
（2）將正多邊形化為小三角形，根據(jù)三角形面積公式解答．
解答：解：（1）是定值．（1分）
證明：如圖，△ABC是等邊三角形，點P是等邊三角形內(nèi)部任一點．
S_△APB=a•PE，S_△CPB=a•PF，S_△APC=a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=a•PE+a•PF+a•PG，
即a•PE+a•PF+a•PG=S，
PE+PF+PG=，為定值．
即d₁+d₂+d₃=，為定值．

（2）同（1）中證法，等邊四邊形、等邊五邊形、…、等邊n邊形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和均為定值，規(guī)律為d₁+d₂+d₃+…+d_n=．
點評：此題但難度不大，只要想到用面積法便可迎刃而解．