Question

（2012•柳州）已知：拋物線y=

3

4

（x-1）²-3．
（1）寫出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸；
（2）函數(shù)y有最大值還是最小值？并求出這個(gè)最大（小）值；
（3）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為P，與x軸的交點(diǎn)為Q，求直線PQ的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出開口方向與對(duì)稱軸即可；
（2）根據(jù)a是正數(shù)確定有最小值，再根據(jù)函數(shù)解析式寫出最小值；
（3）分別求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式解答．

解答：解：（1）拋物線y=

3

4

（x-1）²-3，
∵a=

3

4

＞0，
∴拋物線的開口向上，
對(duì)稱軸為直線x=1；

（2）∵a=

3

4

＞0，
∴函數(shù)y有最小值，最小值為-3；

（3）令x=0，則y=

3

4

（0-1）²-3=-

9

4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

9

4

），
令y=0，則

3

4

（x-1）²-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，0）或（3，0），
當(dāng)點(diǎn)P（0，-

9

4

），Q（-1，0）時(shí)，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

b=- 9 4 -k+b=0

，
解得

k=- 9 4 b=- 9 4

，
所以直線PQ的解析式為y=-

9

4

x-

9

4

，
當(dāng)P（0，-

9

4

），Q（3，0）時(shí)，設(shè)直線PQ的解析式為y=mx+n，
則

n=- 9 4 3m+n=0

，
解得

m= 3 4 n=- 9 4

，
所以，直線PQ的解析式為y=

3

4

x-

9

4

，
綜上所述，直線PQ的解析式為y=-

9

4

x-

9

4

或y=

3

4

x-

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，是基礎(chǔ)題，熟記二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸解析式與二次函數(shù)的系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．