Question

如圖，已知關于x的二次函數y=-x²+bx+c（c＞0）的圖象與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M．
（1）求出二次函數的關系式；
（2）點P為線段MB上的一個動點，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D．若OD=m，△PCD的面積為S，求S關于m的函數關系式，并寫出m的取值范圍；
（3）探索線段MB上是否存在點P，使得△PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據OB、OC的長得出B、C兩點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）求出P點的坐標，據此可根據三角形的面積計算方法求出S與m的函數關系式．
（3）先根據拋物線的解析式求出M的坐標，進而可得出直線BM的解析式，以及P點縱坐標，即可得出符合條件的P點的坐標．

解答：解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
∴

0=-9+3b+c 3=c

，
解得

b=2 c=3

1分
∴二次函數的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）
設直線MB的解析式為y=kx+n，
則有

4=k+n 0=3k+n

解得：

k=-2 n=6

，
∴直線MB的解析式為y=-2x+6
∵PD⊥x軸，OD=m，
∴點P的坐標為（m，-2m+6）
S_三角形PCD=

1

2

×（-2m+6）•m=-m²+3m（1≤m＜3）；

（3）∵若∠PDC是直角，則點C在x軸上，由函數圖象可知點C在y軸的正半軸上，
∴∠PDC≠90°，
在△PCD中，當∠DPC=90°時，
當CP∥AB時，
∵PD⊥AB，
∴CP⊥PD，
∴PD=OC=3，
∴P點縱坐標為：3，代入y=-2x+6，
∴x=

3

2

，此時P（

3

2

，3）．
∴線段BM上存在點P（

3

2

，3）使△PCD為直角三角形．
當∠P′CD′=90°時，△COD′∽△D′CP′，
此時CD′²=CO•P′D′，
即9+m²=3（-2m+6），
∴m²+6m-9=0，
解得：m=-3±3

2

，
∵1≤m＜3，
∴m=3（

2

-1），
∴P′（3

2

-3，12-6

2

）
綜上所述：P點坐標為：（

3

2

，3），（3

2

-3，12-6

2

）．

點評：本題主要考查二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、函數圖象交點、等腰三角形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．