Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+3與x軸的交點為A、B，其中點A在點B的右側．點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的一點，且四邊形ABCD以AB為一底的梯形，若此梯形ABCD的面積為9．
（1）求點D、A、B的坐標；并求此拋物線的解析式．
（2）點E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5：2的點，如果點E在 （1）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最�。咳舸嬖�，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先分a＞0和a＜0兩種情況進行討論，先求出拋物線的對稱軸以及與y軸的交點坐標，然后求出C點的坐標，再根據梯形的面積求出AB的長，即可得出A、B的坐標及拋物線的解析式．
（2）本題需先設出E點的坐標，再代入拋物線的解析式即可求出點E的坐標，然后得出點E關于拋物線的對稱軸對稱的點E′的坐標，最后求出直線AE′的解析式從而得出拋物線的對稱軸與直線的交點坐標，即是點P的坐標．
解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+3的對稱軸為x=-2，與y軸的交點坐標D點（0，3），
∴點C的坐標為（-4，3）
∴CD=8，梯形的高為3
∵S_梯形ABCD=9
∴=9
∴=9
∴AB=2
∴A的坐標為（-1，0）
∴B的坐標為（-3，0）
把A（-1，0）代入y=ax²+4ax+3得；
∴y=x²+4x+3．

（2）當點E在拋物線y=x²+4x+3時
設E點的橫坐標為-2m，則E的縱坐標為5m
把（-2m，5m）代入拋物線得：5m=（-2m）²+4×（-2m）+3
解得；m₁=3，m₂=
∴E的坐標為（-6，15）（舍去）或（-，）
∴點E關于x=-2對稱的點E′的坐標為（-，）
∴直線AE′的解析式為y=-x-
∴P的坐標為（-2，）
點評：本題主要考查了二次函數的綜合應用，在解題時要注意運用數形結合的思想把二次函數的圖象和性質與其它知識相結合 是本題的關鍵．