已知:如圖,在△ABC中,∠B=90度.O是BA上一點,以O為圓心、OB為半徑的圓與AB交于點E精英家教網(wǎng),與AC切于點D,AD=2,AE=1.設P是線段BA上的動點(P與A、B不重合),BP=x.
(1)求BE的長;
(2)求x為何值時,以P、A、D為頂點的三角形是等腰三角形;
(3)在點P的運動過程中,PD與△PBC的外接圓能否相切?若能,請證明;若不能,請說明理由;
(4)請再提出一個與動點P有關的數(shù)學問題,并直接寫出答案.
分析:(1)由于AC切⊙O于點D,可根據(jù)切割線定理求得AB的長,即可得到BE的長;
(2)此題要分三種情況討論:
①以A為頂角頂點,那么AP1=AD=2,根據(jù)AB的長即可求得此時BP1的長,即x的值;
②以P為頂角頂點,可作線段AD的中垂線,交AD于F、交AB于P2,則AF=FD、AP2=DP2;連接OD,易證得OD∥P2F,則P2F是△AOD的中位線,由此可得AP2=
1
2
OA,即可得到BP即x的值;
③以D為頂角頂點,此時AD=DP3,可過D作AB的垂線,設垂足為M,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),可得AM=MP3=
1
2
AP3,在Rt△ABC中,由切線長定理知BC=CD,已知AD、AB的長,即可由勾股定理求得BC、CD的長,易證得DM∥BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求得AM的長,由此可得到AP3的長,即可求得BP3即x的值.
(3)由于△PBC是直角三角形,則PC是△PBC外接圓的直徑,若PD能與△PBC的外接圓相切,則PD⊥PC,在Rt△PBC和Rt△PCD中,分別用勾股定理表示出PC的平方:
BC2+BP2=CD2-PD2,在(2)題已證得BC=CD,則BP2=-PD2,即B、P、D三點重合,顯然這種情況是不成立的,故PD不能與△PBC的外接圓相切.
(4)此題是開放性試題,可根據(jù)日常學習過程中的積累,來提出符合題意的問題.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵AD與⊙O相切于點D,
∴AD2=AE•AB;
由AD=2,AE=1,得AB=4;
∴BE=AB-AE=3;

(2)①以A為頂角頂點時,AP1=AD=2,x=BP1=BA-P1A=2;
②以P為頂角頂點時,作AD的垂直平分線P2F交AB于P2;
連接OD,則OD⊥AD,且OD∥P2F;
∴P2A=
1
2
OA=
5
4
x=BA-P2A=
11
4
;
③以D為頂角頂點時,DP3=DA=2,過D作DM⊥AB于M,則DM∥BC;
由BC2+AB2=(AD+DC)2,得BC=DC=3,AM=
8
5
,AP3=2AM=
16
5
,
∴x=BA-P3A=2AM=
4
5

綜上所述,當x等于2、
11
4
、
4
5
時,△APD是等腰三角形;

(3)PD與△PBC的外接圓不能相切;
理由:假設PD與△PBC的外接圓相切,
則PD⊥PC,
在Rt△PBC中,PC>BC(直角三角形中,斜邊大于直角邊)
在Rt△PCD中,CD>PC(直角三角形中,斜邊大于直角邊)
而BC=CD,與上面的矛盾,所以,不存在.
(4)答案不唯一,如:
①x為何值時,以P、D、A為頂點的三角形與△ABC相似;
答:當x=
3
2
12
5
時,以P、D、A為頂點的三角形與△ABC相似.
②當x為何值時,PD+PC的和最小;
答:當x=
12
7
時,PD+PC的和最小.
點評:此題涉及的知識點較多,有:切線的判定和性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點;需注意的是(2)題中,等腰三角形的腰和底不確定,要分類討論,以免漏解.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

34、已知:如圖,在AB、AC上各取一點,E、D,使AE=AD,連接BD,CE,BD與CE交于O,連接AO,∠1=∠2,
求證:∠B=∠C.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•啟東市一模)已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.
(1)以AB邊上一點O為圓心,過A,D兩點作⊙O(不寫作法,保留作圖痕跡),再判斷直線BC與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若(1)中的⊙O與AB邊的另一個交點為E,半徑為2,AB=6,求線段AD、AE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結(jié)果保留根號和π)《根據(jù)2011江蘇揚州市中考試題改編》

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知:如圖,在△ABC中,∠C=120°,邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點D和點E.
(1)作出邊AC的垂直平分線DE;
(2)當AE=BC時,求∠A的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知:如圖,在AB、AC上各取一點E、D,使AE=AD,連接BD,CE,BD與CE交于O,連接AO,∠1=∠2,
求證:∠B=∠C.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:專項題 題型:證明題

已知:如圖,在AB、AC上各取一點,E、D,使AE=AD,連結(jié)BD,CE,BD與CE交于O,連結(jié)AO,
           ∠1=∠2;
求證:∠B=∠C

查看答案和解析>>

同步練習冊答案