Question

如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O，過(guò)點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)E，交AD邊于點(diǎn)F，則sin∠FCD=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：由四邊形ABCD為正方形，得到四個(gè)內(nèi)角為直角，四條邊相等，可得出AD與BC都與半圓相切，利用切線長(zhǎng)定理得到FA=FE，CB=CE，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，F(xiàn)A=FE=x，由FE+FC表示出EC，由AD-AF表示出FD，在直角三角形FDC中，利用勾股定理列出關(guān)系式，用a表示出x，進(jìn)而用a表示出FD與FC，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出sin∠FCD的值．
解答：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD，
∴AD與BC都與半圓O相切，又CF與半圓相切，
∴AF=EF，CB=CE，
設(shè)AB=BC=CD=AD=4a，AF=EF=x，
∴FC=EF+EC=4a+x，F(xiàn)D=AD-AF=4a-x，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：FC²=FD²+CD²，
∴（4a+x）²=（4a-x）²+（4a）²，
整理得：x=a，
∴FC=4a+x=5a，F(xiàn)D=4a-x=3a，
∴在Rt△DFC中，sin∠FCD==．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，切線的判定，切線長(zhǎng)定理，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，靈活運(yùn)用切線長(zhǎng)定理是解本題的關(guān)鍵．