Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（3，0），點B（0，4），把△ABO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得△AB′O′，點B，O旋轉(zhuǎn)后的對應點為B′，O．

（1）如圖1，當旋轉(zhuǎn)角為90°時，求BB′的長；

（2）如圖2，當旋轉(zhuǎn)角為120°時，求點O′的坐標；

（3）在（2）的條件下，邊OB上的一點P旋轉(zhuǎn)后的對應點為P′，當O′P+AP′取得最小值時，求點P′的坐標．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）5；（2）O'（，）；（3）P'（，）.

【解析】

（1）先求出AB．利用旋轉(zhuǎn)判斷出△ABB'是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出∠HAO'=60°，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AH，OH，即可得出結(jié)論；

（3）先確定出直線O'C的解析式，進而確定出點P的坐標，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）∵A（3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB=5，由旋轉(zhuǎn)知，BA=B'A，∠BAB'=90°，∴△ABB'是等腰直角三角形，∴BB'=AB=5；

（2）如圖2，過點O'作O'H⊥x軸于H，由旋轉(zhuǎn)知，O'A=OA=3，∠OAO'=120°，∴∠HAO'=60°，∴∠HO'A=30°，∴AH=AO'=，OH=AH=，∴OH=OA+AH=，∴O'（）；

（3）由旋轉(zhuǎn)知，AP=AP'，∴O'P+AP'=O'P+AP．如圖3，作A關(guān)于y軸的對稱點C，連接O'C交y軸于P，∴O'P+AP=O'P+CP=O'C，此時，O'P+AP的值最小．

∵點C與點A關(guān)于y軸對稱，∴C（﹣3，0）．

∵O'（），∴直線O'C的解析式為y=x+，令x=0，∴y=，∴P（0，），∴O'P'=OP=，作P'D⊥O'H于D．

∵∠B'O'A=∠BOA=90°，∠AO'H=30°，∴∠DP'O'=30°，∴O'D=O'P'=，P'D=O'D=，∴DH=O'H﹣O'D=，O'H+P'D=，∴P'（）．