Question

如圖，拋物線y=x²-（m+2）x+3（m-1）與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸負半軸交于點C，且S_△BOC=3S_△AOC，
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上是否存在一點P，使∠PCB=∠CAB-∠ABC？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）以AB為直徑作⊙O₁交y軸于M，N兩點，E為A點左側(cè)x軸上的一個動點，F(xiàn)為EM的中點，NA的延長線交O₁F于點Q．當E點運動時，給下列兩個結(jié)論：①的值不變；②AQ•O₁E的值不變，其中有且只有一個結(jié)論正確，請你選擇正確的結(jié)論證明并求值．

Answer 1

解：（1）∵S_△BOC=3S_△AOC，
∴OB=3OA，
∵B（3，0），
∴A點坐標為（-1，0），
∴1+（m+2）+3（m-1）=0，
解得m=0，
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）假設存在點P，
則在△PCB中，∠PCB=∠APC-∠ABC（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），
∵∠PCB=∠CAB-∠ABC，
∴∠CAB=∠APC，
∴AC=PC，
又CO⊥AP，
∴AO=PO（等腰三角形三線合一），
∴點P的坐標為（1，0）；
故存在點P（1，0），使∠PCB=∠CAB-∠ABC；

（3）當E點運動時，AQ•O₁E的值不變．
∵A（-1，0），B（3，0），
∴=1，
∴圓心坐標為O₁（1，0），
∴OM=ON==，
∴點MN的坐標為M（0，），N（0，-），
設點E坐標為（2a，0），則點F坐標為（a，），
設直線O₁F的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線O₁F的解析式為：y=x-①，
又點A、N的坐標為A（-1，0），N（-，0），
∴直線AN的解析式為y=-x-②，
①②聯(lián)立得，
解得，
∴點Q坐標為（，-），
∴AQ==||，
又∵O₁E=1-2a，
∴AQ•O₁E=||•（1-2a）=4的值不變．
即當E點運動時，AQ•O₁E的值不變，不變值為4．
分析：（1）根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長的比，由S_△BOC=3S_△AOC可知，OB=3OA，根據(jù)B（3，0）可得A（-1，0），然后把點A坐標代入函數(shù)表達式即可求出m的值，拋物線關系式即可求出；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，只要∠APC=∠CAB即可，即PC=AC，然后求出點P的坐標；
（3）先分別求出點M、N的坐標，設點E的坐標為（2b，0），根據(jù)點F為EM的中點表示出點F的坐標，然后利用待定系數(shù)法分別求出直線O₁F與NQ的解析式，從而點Q的坐標可得，再利用兩點之間距離公式求出AQ的長度，而O₁E=1-2b，從而便可確定正確的結(jié)論并求出其值．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及兩點間距離的求法，并且運算量較大，需要小心計算，以避免出錯，此題難度較大．