已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M精英家教網(wǎng)．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為(-
b
2a
，
4ac-b2
4a
)，對稱軸公式為x=-
b
2a
．
分析：（1）可在直角三角形BOA中，根據(jù)AB的長和∠AOB的度數(shù)，求出OA的長．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：OC=OA，∠COA=60°，過C作x軸的垂線，即可用三角形函數(shù)求出C點的坐標；
（2）根據(jù)（1）求出的A，C點的坐標，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，如果過M，P兩點分別作底的垂線ME和PQ，那么CE=PQ，可先設(shè)出此時P點的坐標，然后表示出M點的坐標，CE就是C點縱坐標與M點縱坐標的差，QD就是P點縱坐標和D點縱坐標的差．由此可得出關(guān)于P點橫坐標的方程，可求出P點的橫坐標，進而可求出P點的坐標．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）過點C作CH⊥x軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2
∴OB=4，OA=2
3

由折疊知，∠COB=30°，OC=OA=2
3

∴∠COH=60°，OH=
3
，CH=3
∴C點坐標為（
3
，3）；

（2）∵拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C（
3
，3）、A（2
3
，0）兩點，
∴
3=(
3
)2a+
3
b
0=(2
3
)2a+2
3
b
，
解得：
a=-1
b=2
3
，
∴此拋物線的解析式為：y=-x2+2
3
x．
解法一：（3）存在．
因為y=-x2+2
3
x的頂點坐標為（
3
，3）
所以頂點坐標為點C（8分）
作MP⊥x軸，垂足為N，
設(shè)PN=t，因為∠BOA=30°，
所以O(shè)N=
3
t
∴P（
3
t，t）（9分）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把x=
3
t代入y=-x2+2
3
x
得：y=-3t2+6t
∴M（
3
t，-3t2+6t），E（
3
，-3t2+6t）（10分）
同理：Q（
3
，t），D（
3
，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD（這時△PQD≌△MEC）
即3-（-3t2+6t）=t-1，解得：t1=
4
3
，t2=1（不合題意，舍去）（11分）
∴P點坐標為（
4
3
3
，
4
3
）（12分）
∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（
4
3
3
，
4
3
）；
解法二：

（3）存在．
由（2）可得：y=-x2+2
3
x=-(x-
3
)2+3得頂點坐標為（
3
，3），
即點C恰好為頂點；（8分）
設(shè)MP交x軸于點N，
∵MP∥y軸，CH為拋物線的對稱軸
∴MP∥CD且CM與DP不平行
∴四邊形CDPM為梯形
若要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°，則∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°，
∴∠MCD=∠BCD，
∴此時點M為拋物線與線段CB所在直線的交點（9分）
設(shè)BC的解析式為y=mx+n
由（2）得C（
3
，3）、B（2
3
，2）
∴
3=
3
m+n
2=2
3
m+n

解得：
m=-
3
3
n=4

∴直線BC的解析式為y=-
3
3
x+4（10分）
由
y=-x2+2
3
x
y=-
3
3
x+4

得x1=
4
3
3
，x2=
3

∴ON=
4
3
3
（11分）
在Rt△OPN中，tan∠PON=
PN
ON
得PN=
4
3

∴P點坐標為（
4
3
3
，
4
3
）（12分）
∴存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐標為（
4
3
3
，
4
3
）．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形全等、等腰梯形的性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
練習(xí)冊系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O(shè)為坐標原點，OA所在直精英家教網(wǎng)線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•武漢模擬）已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O(shè) 為原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求點C的坐標和過O、C、A三點的拋物線的解析式；
（2）P是此拋物線的對稱軸上一動點，當以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標；
（3）M（x，y）是此拋物線上一個動點，當△MOB的面積等于△OAB面積時，求M的坐標．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•六盤水）已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2
3
，若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求經(jīng)過點O，C，A三點的拋物線的解析式．
（2）求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標．
（3）線段OB與拋物線交與點E，點P為線段OE上一動點（點P不與點O，點E重合），過P點作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：在線段OE上是否存在這樣的點P，使得PD=CM？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：第34章《二次函數(shù)》常考題集（23）：34.4 二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O(shè)為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內(nèi)．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M．問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為，對稱軸公式為x=-．

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