Question

已知拋物線y=

1

2

x²-x+k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，如果△ABD是等腰直角三角形，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，且以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用根的判別式即可判斷k的取值范圍．
（2）利用兩根之和與兩根之積公式、等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出k的值．
（3）利用極端假設(shè)法分別求出x、y的值，再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：△=1-2k＞0，
∴k＜

1

2

，
∴k的取值范圍是k＜

1

2

．

（2）設(shè)A（x₁，0）、B（x₂，0），則x₁+x₂=2，x₁x₂=2k．
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

1-2k

，
由y=

1

2

x²-x+k=

1

2

（x-1）²+k-

1

2

得頂點(diǎn)D（1，k-

1

2

），
當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)得；|k-

1

2

|=2×

1

2

1-2k

，
解得k₁=-

3

2

，k₂=

1

2

，
∵k＜

1

2

，
∴k=

1

2

舍去，
∴所求拋物線的解析式是y=

1

2

x²-x-

3

2

．

（3）設(shè)E（0，y），則y＞0，
令y=0得

1

2

x²-x-

3

2

=0，
∴x₁=-1，x₂=3，∴A（-1，0）、B（3，0），令x=0得：y=-

3

2

，
∴C（0，-

3

2

），
（i）當(dāng)△AOE∽△BOC時(shí)得：

AO

BO

=

OE

OC

，∴

1

3

=

y

3 2

，解得y=

1

2

，
∴E₁（0，

1

2

）；
（ii）當(dāng)△AOE∽△COB時(shí)得：

AO

OC

=

OE

BO

，∴

1

3 2

=

y

3

，解得y=2，
∴E₂（0，2），
∴當(dāng)△AOE和△BOC相似時(shí)，E₁（0，

1

2

）或E₂（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似的表示方法．