Question

如圖，BC是⊙P的直徑，直線AD交⊙P于點A，且滿足∠BAD=∠BCA，
（1）求證：直線AD是⊙P的切線；
（2）以BC所在直線為y軸，點C為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，若點A坐標(biāo)為（3，4），求⊙P的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由弦切角定理，根據(jù)已知條件即證．
（2）設(shè)該圓半徑為R，根據(jù)由點A坐標(biāo)，作AE垂直于BC于點E，由勾股定理求得AC的長為5，AB關(guān)于R的表示式，由BC為圓的直徑則∠BAC為直角，根據(jù)勾股定理從而求得R．
解答：（1）證明：∵BC為圓的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵由題意得∠BCA=∠PAC，∠BAD=∠BCA，
∴∠PAD=90°即PA⊥AD，
∴直線AD是⊙P的切線；

（2）解：設(shè)圓半徑為R，
作AE⊥BC于點E，如圖，
由題意CE=4，AE=3，
在Rt△ACE中由勾股定理，得
AC=
同理在Rt△AEB中，
由BE=2R-4，AE=3，根據(jù)勾股定理，得
AB=
∵BC為圓的直徑
∴∠BAC=90°
∴在Rt△ABC中由勾股定理得
BC²=AB²+AC²
代入所求的值得
4R²=25+（2R-4）²
16R=50
R=
答：⊙P的半徑為．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，首先從弦切角定理來判定切線，再根據(jù)圓直徑所對的圓周角為直角，根據(jù)勾股定理進行計算．