Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AD平分∠BAC，BD：CD=3：5，點E為AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于點F，則BF=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先過點D作DM⊥AC與M，過點E作EN⊥AB于N，由AD平分∠BAC，∠ABC=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，易得DM=DB，繼而求得∠C的三角函數(shù)的值，又由AB=4，即可求得AC，BC的值，由點E為AC的中點，則可得EN是△ABC的中位線，則可求得AN=BN=2，EN=BC，然后由△FBD∽△FNE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
解答：解：過點D作DM⊥AC與M，過點E作EN⊥AB于N，
∵AD平分∠BAC，∠ABC=90°，
∴DM=BD，EN∥BC，
∵BD：CD=3：5，
∴DM：CD=3：5，
∴在Rt△CDM中，sin∠C=，tan∠C=，
∵AB=4，
∴AC==，BC==，
∵點E為AC的中點，
∴AE=AC，
∵EN∥BC，
∴EN=BC=，AN=BN=AB=2，
∵BD=BC=2，
∵BD∥EN，
∴△FBD∽△FNE，
∴，即，
解得：BF=6．
故答案為：6．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．