Question

如圖等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中以個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)
（1）求AD的長；
（2）設(shè)CD=x，問當(dāng)x為何值時(shí)△PDQ的面積達(dá)到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來求解：過A作AE⊥CD于E．那么可在直角三角形AED中根據(jù)兩底的差和∠D的度數(shù)來求出AD的長．
2）可通過求△PDQ的面積與x的函數(shù)關(guān)系式來得出△PDQ的最大值．由于P、Q速度相同，因此CP=QD=x，那么可用x表示出PD，而△PQD中，PD邊上的高=QD•sin60°，由此可根據(jù)三角形的面積公式求出S_△PQD與x之間的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）如圖1
過A作AE⊥CD，垂足為E．
依題意，DE=

9-4

2

=

5

2

．
在Rt△ADE中，AD=

DE

cos60°

=

5

2

×2=5；
（2）如圖1
∵CP=x，h為PD邊上的高，依題意，
△PDQ的面積S可表示為：
S=

1

2

PD•h=

1

2

（9-x）•x•sin60°
=

3

4

（9x-x²）
=-

3

4

（x-

9

2

）²+

81 3

16

．（0≤x≤5）
∴a=-

3

4

＜0，
∴當(dāng)x=

9

2

時(shí)（滿足0≤x≤5），S_最大值=

81 3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的分析作圖能力和考查學(xué)生綜合運(yùn)用平行線、等腰梯形、等邊三角形、菱形、二次函數(shù)等知識(shí)．這里設(shè)計(jì)了一個(gè)開放的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)情境，為學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、分析問題、解決問題留下了廣闊的探索、創(chuàng)新的思維空間．