Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-

1

4

x2-2x的頂點(diǎn)為A，與x軸交于O，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（m，0）是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線y=-

1

4

x于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，以EF為一邊，在EF的左側(cè)作矩形EFGH．若FG=

3

2

，則當(dāng)矩形EFGH與△OAB重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：把拋物線整理成頂點(diǎn)式形式并求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，令y=0，解方程求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后判斷出△AOB是等腰直角三角形，再分①矩形EFGH為正方形時(shí)，根據(jù)拋物線和直線解析式表示出EF，再根據(jù)EF=FG列出方程求解即可；②矩形EFGH關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)稱軸向有

1

2

FG即為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；③點(diǎn)H在AB上時(shí)，設(shè)直線y=-

1

4

x與直線AB相交于點(diǎn)C，聯(lián)立兩直線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)H在直線AB上時(shí)，求出△CHE和△CBO相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出

CE

CO

，然后求出

OE

OC

，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，求出△OEP和△OCD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出PE，從而得到點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，再代入直線解析式求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，即為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從此位置到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，重疊部分為等腰直角三角形，是軸對(duì)稱圖形．

解答：解：∵y=-

1

4

x²-2x=-

1

4

（x+4）²+4，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，4），
令y=0，則-

1

4

x²-2x=0，
整理得，x²+8x=0，
解得x₁=0，x₂=-8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-8，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-4k+b=4 -8k+b=0

，
解得

k=1 b=8

，
∴直線AB的解析式為y=x+8，
∴∠ABO=45°，
由拋物線的對(duì)稱性得，△AOB是等腰直角三角形，
①矩形EFGH為正方形時(shí)，EF=FG，
∴（-

1

4

m²-2m）-（-

1

4

m）=

3

2

，
整理得，m²+7m+6=0，
解得m₁=-1，m₂=-6；
②矩形EFGH關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=-4+

1

2

FG=-4+

1

2

×

3

2

=-4+

3

4

=-

13

4

；
③如圖，點(diǎn)H在AB上時(shí)，設(shè)直線y=-

1

4

x與直線AB相交于點(diǎn)C，
聯(lián)立

y=x+8 y=- 1 4 x

解得

x=- 32 5 y= 8 5

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

32

5

，

8

5

），
∵PE∥y軸，四邊形EFGH為矩形，
∴EH∥x軸，
∴△CHE∽△CBO，
∴

CE

OC

=

EH

OB

=

3 2

8

=

3

16

，
∴

OE

OC

=

13

16

，
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則CD∥PE，
∴△OEP∽△OCD，
∴

PE

CD

=

OE

OC

，
即

PE

8 5

=

13

16

，
解得PE=

13

10

，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為

13

10

，
代入y=-

1

4

x得，-

1

4

x=

13

10

，
解得x=-

26

5

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=-

26

5

，
∴從此位置到點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，重疊部分為等腰直角三角形，
∴-

32

5

＜m≤-

26

5

；
綜上所述，矩形EFGH與△OAB重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，m的取值范圍是：m=-1或-6或-

13

4

或-

32

5

＜m≤-

26

5

．
故答案為：m=-1或-

13

4

或-

32

5

＜m≤-

26

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于要根據(jù)矩形EFGH的位置分情況討論．