Question

如圖（1），點(diǎn)E是正方形ABCD邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），四邊形EFGB也是正方形．正方形BEFG、ABCD的邊長(zhǎng)分別為a、b，且（a＜b），設(shè)△AFC的面積為S．
（1）請(qǐng)證明S為定值；
（2）將圖（1）中正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)45°，如圖（2），求S值；
（3）當(dāng)點(diǎn)E處在AB中點(diǎn)（即b=2a時(shí)），將正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖（3），請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中S的最大值為：

4a²（或b²）

．

Answer 1

分析：（1）連接FB，根據(jù)已知可得到△ABC與△AFC是同底等高的三角形，由已知可求得△ABC的面積為大正方形面積的一半，從而不難求得S的值．
（2）根據(jù)圖形的關(guān)系，可得BF的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式，可得△AFC的面積；
（3）分析可得：當(dāng)F點(diǎn)到AC的距離取得最大、最小值時(shí)，S_△AFC取得最大、最小值．

解答：（1）證明：如圖（1），連接FB．
∵四邊形EFGB和四邊形ABCD都是正方形，
∴∠FBA=∠BAC=45°，∴FB∥AC，
∴△AFC與△ABC是同底等高的三角形．
∴S_△AFC=S_△ABC
∵2S_△ABC=S_□ABCD，S_□ABCD=b²，
∴S=

1

2

b²．即S為定值；

（2）∵點(diǎn)F在AB上，
∴BF²=a²+a²，即BF=

2

a，
∴AF=b-

2

a，
∴S_△AFC=

1

2

AF•BC=

1

2

（b-

2

a）b=

1

2

b²-

2

2

ab；

（3）正方形EFGB在繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，F(xiàn)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，BF為半徑的圓．
當(dāng)b=2a時(shí)，存在最大值，不存在最小值．
∴S_△AFC的最大值=

1

2

×

2

b×（

1

2

2

b+

2

a）=

2

a×2

2

a=4a²（或b²）．
故填：4a²（或b²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及正方形的性質(zhì)，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．